МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 13 (12 декабря 2015 года)

1.

а)

Запишите числа от 330 до 337 в семеричной системе.

б)

Сколько трёхзначных чисел в семеричной системе счисления?

в)

Сколькими способами можно положить на одночашечные весы несколько (возможно, 0) гирь из набора, в котором три типа гирь, каждого типа по шесть?

г)

В деревне Васюки разрешается вывешивать на доме красный, синий или белый флаг. А домов в деревне шесть. Сколькими способами жители деревни могут вывесить на домах по флагу?

2.

а)

Имеются четыре разные гири. Сколькими способами можно положить некоторые из них на весы (гири можно класть только на одну чашу, способ «ничего не положить» тоже считается)?

б)

Тот же вопрос про три разные гири, которые можно класть на обе чаши.

в)

Тот же вопрос про четыре разные гири, которые можно класть на обе чаши.

г)

Тот же вопрос про три пары гирь (гирь в одной паре одинаковые, в разных разные), которые можно класть на одну чашу.

д)

Тот же вопрос про две тройки гирь, которые можно класть на одну чашу.

е)

Тот же вопрос про две тройки гирь, которые можно класть на две чаши.

3.

а)

Существуют ли четыре гири, которыми можно уравновесить любой целый вес от 1 до 17 грамм? (Гири можно класть только на одну чашу.)

б)

Тот же вопрос, но от 1 до 16 грамм.

4.

а)

Томас красит забор. У него имееются две краски, а каждую доска в заборе он красит целиком в один цвет. Сколькими способами он может раскрасить забор из 50 досок?

б)

То же, что и а), но теперь он красит соседние доски в разные цвета.

в)

То же, что и а), но три цвета.

г)

То же, что и б), но три цвета.

5.

Как разделить поровну 7 яблок между 12 людьми, чтобы каждое яблоко было разрезано на равные части, но не более, чем на 5 частей?

6.

Вычислите без использования вычислительной техники: (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1).

Подсказка

Подсказка. Вам помогут формулы сокращённого умножения.