МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 18 (5 марта 2016 года). Разделяй и властвуй-II

1.

а)

В городе 13 музеев и 12 памятников. В город на два дня приехали 25 туристов. Каждый хочет за поездку сходить на две в экскурсии — в один день в музей, в другой день к памятнику (неважно, в каком порядке). В первый день оказалось, что все туристы ходили в разные места. Может ли такое повториться на второй день?

б)

В каждой клетке квадрата 5×5 сидит жук. Когда погаснет свет, каждый жук в темноте переползёт на соседнюю по стороне клетку. Обязательно ли после этого в какой-то клетке окажется несколько жуков?

в)

То же, что и б), но доска 10×10, и жуки переползают не на одну, а сразу на две клетки в любую из 4 сторон.

3.

Для каждой из тетраминошек (фигур из 4 клеток) придумайте такую раскраску доски 6×6 в 2 цвета, что как ни положи тераминошку на доску, она всегда займёт 3 клетки одного цвета и 1 другого.

а)

Квадрат 2×2;

б)

полоска 1×4;

в)

«т»;

г)

«Г»;

д)

«S».

3.

а)

Пользуясь 2.в, докажите, что доску 6×6 нельзя разрезать на тетраминошки типа «т». (Вспомните задачу 2.а прошлого листка.)

б)

То же про 2.г и «Г».

в)

Почему то же не сработает для 2.а и квадратов 2×2?

г)

Докажите, что доску 6×6 нельзя разрезать на полоски 1×4, пользуясь какой-нибудь раскраской.

д)

То же про 2.д и «S».

4.

Верно ли, что если у четырёхугольника диагонали равны и перпендикулярны, то это квадрат?

5.

Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила 1/4 всего молока и 1/6 часть всего кофе. Сколько человек в семье?

6.

а)

На доске написаны числа 11 и 7. Петя повторяет следующую операцию до тех пор, пока одна из чисел не станет 0: сначала берёт себе количество конфет, равное одному из чисел на доске, а потом уменьшает другое на 1. какое наибольшее количество конфет он может получить такими действиями?

б)

Тот же вопрос, но чисел на доске три: 11, 7 и 13, количество взятых конфет равно произведению любых двух чисел на доске, а 1 вычитают из третьего.