МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

1.

а)

12 детей нарядились: 3 ведьмами, 4 зомби и 5 пришельцами. Злой дух Абырвалг пугается, если встречает двух одинаково наряженных детей. Дети решили этим воспользоваться. Сколько раз они успеют его напугать, прежде чем обнаружат, что дважды его одной и той же парой не напугаешь?

б)

Злой дух Тматчопвалг пугается, если видит двух по-разному наряженных детей. Сколько раз дети смогут напугать его? (Тматчопвалг также не станет пугаться одной пары дважды.)

в)

Ответьте на вопросы пунктов а) и б), если на помощь придут 8 детей в маске лошади.

2.

а)

Привидение составляют торжественную речь. Начать оно планирует с шестибуквенного вступления, состоящего из трёх букв «А» и трёх букв «У». Сколько есть вариантов такого вступления?

б)

Продолжить оно собирается вдохновляющим десятибуквенным лозунгом, состоящим из четырёх «А» и шести «У». Сколькими способами оно может это сделать?

в)

В заключение приведение попрощается фразой следующего типа: «** **** *** *****!» (каждая звёздочка это «А» или «У», причём всего «А» и «У» поровну). Сколько теперь способов?

г)

Сколькими способами приведение может выбрать семерых из четырнадцати слушателей? (Вы не хотите знать, для чего.)

3.

На шахматную доску поставили 20 ладей. Докажите, что какая-то из них бьёт две другие.

4.

Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла 9 носков. Среди любых четырёх носков хотя бы два принадлежали одному ребёнку, а среди любых пяти носков не более трёх имели одного хозяина. Сколько могло быть детей и сколько носков могло принадлежать каждому ребёнку?

5.

а)

Три мальчика в костюмах Рики, Тики и Тави по очереди обходят пять домов (первым все дома проходит Рики, потом — Тики, последним Тави). В каждом доме каждый мальчик либо получают конфетку, либо, не получив, устраивают шалость. Сколькими способами могут развиваться события?

Подсказка

Подсказка. Если не получается, решите задачу только для Рики.

б)

Тот же вопрос, но теперь жильцы дома, в котором устроили шалость, почему-то перестают давать конфеты.