МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 3 (3 октября 2015 года)

1.

а)

Во Всемирном Съезде Хулиганов участвовало 50 хулиганов. Когда они по очереди заходили на торжественное открытие, каждый ставил по щелбану каждому уже зашедшему хулигану (т.е., первый никому не ставил щелбанов, второй — первому, и т. д.). Сколько всего было сделано щелбанов?

б)

Неожиданно открытие съезда посетили ещё 30 хулиганов. Сколько они поставят щелбанов, если будут действовать по той же схеме?

2.

а)

Король Анчурии в первый год своего правления собрал 5 золотых слитков дани со своих подданных. Во второй год он собрал уже 10, в третий — 15, и так далее, пока после 30-го года его не свергли. Сколько всего дани он собрал?

б)

Президент Анчурии в первый год своего правления собрал 57 золотых слитков налогов. В каждый следующий год он собирал на 7 слитков больше, чем в предыдущий. После 20-го года его почему-то свергли. Сколько слитков он успел собрать?

3.

а)

На грядке растут 10 тыкв. Известно, что в хотя бы в одной из них скрывается ровно один гоблин, хотя бы в одной — ровно два, хотя бы в одной — ровно три, а вот пять гоблинов в тыкву не помещаются. Какое наибольшее количество гоблинов может быть в тыквах?

б)

Вот это наибольшее количество гоблинов там и оказалось. Гоблины бывают трёх цветов. Докажите, что среди них найдутся 12 одноцветных.

4.

Шахматная фигура ладьёнок бьёт по горизонтали и вертикали как ладья, но недалеко: только по две клетки в каждом из четырёх направлений.

а)

Какое наибольшее число ладьят можно поставить на доску 3×10 так, чтобы они не били друг друга?

б)

А на доску 9×10?

в)

А на слоника справа?

5.

Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз — на 2 см, в третий — на 3 см и так далее. Докажите, что после 13 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

6.

Нарния и Страна Оз разделены океаном. В этом океане находится скрытый волшебными туманами остров Авалон, который находится между Нарнией и Страной Оз, но при этом дальше от обеих стран, чем те друг от друга. Возможно ли это благодаря магии, или есть более простое объяснение?

7.

Путешественник выходит из своего родного города и отправляется в самый дальний от него город страны, затем — в город, самый дальний от этого города, и т.д. Расстояния между всеми городами различны. Докажите, что если путешественник не вернулся в родной город после второго перехода, то он никогда в него не вернётся.

8.

В пробирке находятся вирусы трёх типов: A (10 штук), B (11 штук) и C (12 штук). Два вируса любых двух разных типов могут слиться в один третьего типа. После нескольких слияний в пробирке останется только один вирус. Каков его тип?