МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2015/2016 учебный год
Группа А

Занятие 20 (2 апреля 2016 года). Остатки (продолжение)

1.
На какую цифру оканчивается число а) \(777^{777}\); б) \(7^{7^7}\)?
2.
Докажите, что \(2222^{5555}+5555^{2222}\) делится на 7.
3.
У Ивана-царевича есть два волшебных меча, а у Змея Горыныча — сто голов. Первым мечом Иван всегда отрубает Змею Горынычу 21 голову, вторым — 4, но тогда у Змея Горыныча отрастает 2006 новых голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то отрубить их не получится.)
4.
Докажите, что сумма цифр полного квадрата не может быть равна 2015.
5.
Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести квадратов нечётных чисел?
6.
В небольшой шотландской школе учатся 1000 школьников, и у каждого есть шкафчик для одежды. Шкафчики занумерованы числами от 1 до 1000, и после уроков школьники их запирают. А ещё в этой школе обитают привидения — их тоже тысяча. Однажды ночью они начали по очереди шалить: сначала первое привидение открыло все шкафчики, затем второе закрыло шкафчики с чётными номерами, а каждое следующее привидение меняло состояние шкафчиков с номерами, кратными своему номеру (закрывало открытые шкафчики и открывало закрытые). И вот, когда последнее привидение поменяло состояние тысячного шкафчика — пропел петух, и все привидения срочно убрались восвояси. Сколько школьников на следующее утро с удивлением обнаружили свои шкафчики открытыми?

Дополнительные задачи

7.
Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел. Например, \(52=4^3+(-3)^3+2^3+2^3+(-1)^3\).
8.
Коля и Вася выписывают две периодические последовательности букв: Коля — с периодом 7, Вася — с периодом 13:
a1a2a3a4a5a6a7 a1a2a3a4a5a6a7a1 ...
b1b2b3b4b5b6b7 b8b9b10b11b12b13 b1b2...
Среди букв a1, ..., a7 есть разные и среди букв b1, ..., b13 есть разные. Какова максимальная длина начального куска, который может совпаcть у этих последовательностей?
9.
За круглым столом совещались 2n депутатов. После перерыва эти же 2n депутатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке. Докажите, что найдутся два депутата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек.