МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 3 (10 октября 2015 года)

1.

У Васи 28 одноклассников, и у них различное число друзей в этом классе (т. е. среди них не найдутся двое с одинаковым количеством друзей). Сколько друзей у Васи?

2.

ДУБ + ДУБ + ... + ДУБ = РОЩА. В этой записи одинаковыми буквами заменили одинаковые цифры, разными — разные. Какое наибольшее число ДУБОВ может быть в РОЩЕ?

3.

Сколькими способами можно переставить буквы в слове а) МЕХМАТ; б) ЗАДАЧА; в) МАТЕМАТИКА?

4.

На доске 100×100 расставлено 100 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что в правом верхнем и в левом нижнем квадратах размером 50× 50 расставлено равное число ладей.

5.

30 студентов с пяти курсов придумали 40 задач (каждую задачу придумал ровно один студент). Любые два однокурсника придумали одинаковое число задач, а любые два студента с разных курсов — разное. Сколько студентов придумали по одной задаче?

6.

У Миши есть 1000 одинаковых кубиков, у каждого из которых одна пара противоположных граней белая, вторая — синяя, третья — красная. Он собрал из них большой куб 10×10×10, прикладывая кубики друг к другу одноцветными гранями. Докажите, что у большого куба есть одноцветная грань.

Дополнительные задачи

7.

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

8.

Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?

9.

Какое наибольшее количество клеток можно отметить на шахматной доске так, чтобы с каждой из них на любую другую отмеченную клетку можно было пройти ровно двумя ходами шахматного коня?