МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2015/2016 учебный год
Группа А

Занятие 12 (12 декабря 2015 года)

1.
Как составить квадрат из 100 фигурок ?
2.
Имеется 15 ящиков. В каждом ящике лежит какое-то количество монет. Разрешается выбрать 7 ящиков и добавить в каждый по монете. Докажите, что такими операциями можно уравнять число монет в ящиках.
3.
Представьте число 1 в виде суммы а) трёх; б) четырёх; в) пяти; г) семи различных обыкновенных дробей, числители которых равны 1.
4.
Придумайте 10 различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.
5.
Существует ли 44-угольник, который можно одной прямой разрезать на 21 равных треугольник?
6.
Некоторые клетки доски 8×8 покрашены в чёрный цвет, остальные — в белый. В угловой клетке стоит фигура «король-с-кисточкой». Он ходит как шахматный король (на соседнюю клетку по стороне или по диагонали), но, сделав ход, перекрашивает клетку, в которую пришёл, в противоположный цвет.
а)
Докажите, что, независимо от того, какие клетки были чёрными вначале, «король-с-кисточкой» может ходить так, чтобы в результате его перемещений вся доска оказалась покрашенной в белый цвет.\\
б)
А может ли «король-с-кисточкой» добиться шахматной раскраски?
7.
Из листа клетчатой бумаги 29×29 вырезали 99 квадратиков 2×2. Докажите, что из остатка можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

Дополнительные задачи

8.
Некоторые клетки доски 8×8 покрашены в чёрный цвет, а остальные — в белый. В угловой клетке стоит «конь-с-кисточкой». Он ходит как шахматный конь, но, сделав ход, перекрашивает клетку, в которую пришел, в противоположный цвет. Докажите, что, независимо от того, какие клетки были чёрными вначале, «конь-с-кисточкой» может ходить так, чтобы в результате его перемещений вся доска оказалась покрашенной в белый цвет.
9.
Планетная система Ух-ты состоит из 9 планет, каждая из которых обитаема. С незапамятных времён все планеты жили дружно. Но после того, как в Ух-ты побывали космические пираты Весельчак и Глот, некоторые планеты разорвали дипломатические отношения. Однако среди любых четырёх планет какие-то две по-прежнему дружат между собой. Системе Ух-ты угрожает вторжение сумчатых бегемотов, противостоять которому могут только объединённые силы трёх планет. Докажите, что сумчатым бегемотам не одолеть систему Ух-ты.
10.
а)
Нарисуйте замкнутую 8-звенную ломаную, которая пересекает каждое своё звено ровно 2 раза.
б)
А можно ли нарисовать 64-звенную ломаную с таким свойством?