МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14 (13 февраля 2016 года)

1.

В правильный шестиугольник площади 54 вписан другой шестиугольник так, как показано на рисунке. Найдите площадь заштрихованного шестиугольника.

2.

а)

Разрежьте фигуру на рисунке на 4 части и сложите из них равносторонний треугольник.

б)

Каждая сторона равностороннего треугольника разделена на три равные части, и некоторые из точек деления соединены с противоположными вершинами треугольника так, как показано на рисунке. Найдите площадь заштрихованной части, если площадь исходного треугольника равна S.

3.

Можно ли разрезать изображённый на рисунке шестиугольник на 23 равные фигуры по линиям сетки?

4.

Треугольник разбит на треугольнички (25 штук), как показано на рисунке. Жук может ходить по треугольнику, переходя между соседними (по стороне) треугольничками. Какое максимальное количество треугольничков мог посетить жук, если в каждом он побывал не более одного раза?

5.

Двое играют на шестиугольном поле, изображённом на рисунке. Сначала фишка поставлена в одно из угловых полей. Игроки по очереди двигают фишку по отрезкам, соединяющим поля, причём запрещается ходить на поле, на котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков — первый или второй — сможет гарантировать себе победу, и как он для этого должен играть?

6.

Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы — равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

Дополнительные задачи

7.

Правильный шестиугольник разбит треугольной сеткой так, что каждая его сторона разделена на n равных отрезков (на рисунке изображён случай n = 4). При каких значениях n шестиугольник можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные фигурки ()?

8.

Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на 3 части и сложите из них правильный шестиугольник.

9.

Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов — 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов — 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшую сумму денег он может получить за сокровища, которые он принесет из пещеры за один раз?