МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 13 (19 декабря 2015 года). Игра «+5 −2 / Расскажи другу»

Правила игры

Играют команды по 3–4 человека. Задачи предлагаются блоками по 4 задачи. Следующий блок выдаётся либо когда из предыдущего блока правильно решены хотя бы три задачи, либо когда наступает время раздачи очередного блока всем командам (2-й блок — через 20 мин, 3-й — через 40 мин, 4-й — через 1 час после начала игры).

Задачи в игре бывают двух типов.

• Есть задачи типа «Сдаётся только ответ». Ответ команды на такую задачу сдаётся на листочке и оценивается по системе «+5, если верно, и −2, если неверно».
• Есть задачи типа «Задача сдаётся устно». Их нужно сдавать устно, причём сдавать задачу обязательно должна прийти вся команда. Из состава команды случайным образом выбирается, кто будет сдавать задачу. Остальные игроки уходят на свои места и не имеют права подсказывать сдающему. Решение также оценивается по системе «+5 / −2». Таким образом, знать и понимать решение задачи требуется не только от решившего её игрока, но и от всех остальных членов команды.

Блок 1

1.

Маша выписывает последовательно на доску по возрастанию все числа, в которых число чётных цифр равно числу нечётных цифр. Какое число Маша выпишет 46-м? Сдаётся только ответ.

2.

Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел. Задача сдаётся устно.

3.

Назовём автобусный билет счастливым, если сумма цифр его номера делится на 7. Могут ли два билета подряд быть счастливыми? Задача сдается устно.

4.

Волшебным считается момент, в который число минут на электронных часах совпадает с числом часов. Чтобы сварить волшебное зелье, его надо и поставить на огонь, и снять с огня в волшебные моменты. А чтобы оно получилось вкусным, его надо варить от полутора до двух часов. Сколько времени варится вкусное волшебное зелье? Сдаётся только ответ.

Блок 2

5.

У Лизы есть двухрублёвые и пятирублёвые монеты. Если она возьмёт все свои двухрублёвые монеты, ей не хватит 60 рублей, чтобы купить четыре пирожка. Если все пятирублёвые — не хватит 60 рублей на пять пирожков. А всего ей не хватает 60 рублей для покупки шести пирожков. Сколько стоит пирожок? Сдаётся только ответ.

6.

Гришин счёт в банке содержит 500 тугриков. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 тугриков или добавлять 198 тугриков. Какую максимальную сумму Гриша может снять со счёта, если других денег у него нет? Сдаётся только ответ.

7.

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей так, чтобы они не били друг друга, чётно. Задача сдается устно.

8.

Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом стуле. Ему известно, что из двух электрических стульев, стоящих в специальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо известно, что если он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет помилован. Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через день на все вопросы отвечает правду, а через день — ложь. Приговорённому разрешается задать стражнику ровно один вопрос, после чего надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой вопрос Джо может задать стражнику, чтобы наверняка выяснить, какой стул неисправен? Сдаётся только ответ.

Блок 3

9.

В пробирке находятся амёбы трех типов A, B и C. Две амёбы любых двух разных типов могут слиться в одну амёбу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амёба. Каков её тип, если исходно амёб типа A было 20 штук, типа B — 21 штука, и типа C — 22 штуки? Задача сдаётся устно.

10.

Цифры 1, 2, ..., 9 разбили на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72. Задача сдаётся устно.

11.

На шахматной доске 4×4 расположена фигура «летучая ладья», которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле? Задача сдаётся устно.

12.

Имеется набор натуральных чисел (известно, что чисел не меньше семи), причём сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе? Сдаётся только ответ.

Блок 4

13.

Найдите сумму цифр в десятичной записи числа 4¹²·5²¹. Сдаётся только ответ.

14.

Найдите все решения уравнения \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1\) в целых числах, отличных от 1. Сдаётся только ответ.

15.

В классе 20 учеников, причем каждый дружит не менее, чем с 14 другими. Можно ли утверждать, что найдутся четыре ученика, которые все дружат между собой? Сдаётся только ответ.

16.

В спортклубе тренируются 100 толстяков весом от 1 до 100 кг. На какое наименьшее число команд их можно разделить так, чтобы ни в одной команде не было двух толстяков, один из которых весит вдвое больше другого? Задача сдаётся устно.