МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 19 (26 марта 2016 года). Остатки

1.

Разочарованный вкладчик фонда „Всё по-честному!” разорвал акцию на 4 части. Не удовлетворившись этим, он стал случайно рвать куски либо на 4, либо на 16 частей. Могло ли у него получиться 2016 кусков?

2.

Какой остаток при делении на 17 даёт произведение 1·2·...·16 ?

3.

Правда ли, что среди любых ста целых чисел можно найти 15 таких, из которых разность любых двух делится на 7?

4.

В магазине было шесть ящиков яблок с массами 15, 16, 18, 19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели пять ящиков, причём одна из них взяла по массе яблок в два раза больше, чем другая. Какой ящик остался в магазине?

5.

На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50 фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил сдачу — на одну монету больше. Какова наименьшая возможная цена покупки?

6.

Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить всё жалованье между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдаёт Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если жалованье между отрядами Черномор распределяет а) как ему угодно; б) поровну?

Дополнительные задачи

7.

Докажите, что числитель несократимой дроби, равной \[1+ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots + \dfrac{1}{36},\] делится а) на \(37\); б) на \(37^2\).

8.

Докажите, что для любого натурального \(n\) существует \(n\)-значное число, кратное \(2^n\), составленное из единиц и двоек (например, \(112\) кратно \(2^3\), \(2112\) кратно \(2^4\)).

9.

Может ли полный квадрат оканчиваться четырьмя одинаковыми ненулевыми цифрами? (Тремя — может: например, \(38^2=1444\).)