МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 17 (12 марта 2016 года). Инвариант

0.

Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

1.

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные — белым. За один ход можно поменять на противоположный цвет каждой клетки в данной строке или в данном столбце. Докажите, что с помощью таких перекрашиваний нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми.

2.

Круг разделен на 6 секторов, в котором по часовой стрелке стоят числа 1, 0, 1, 0, 0, 0. Можно прибавлять по единице к любым числам, стоящим в двух соседних секторах. Можно ли сделать все числа равными?

3.

На доске выписаны числа 1, 2, ..., 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число ab + a + b. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

4.

Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом — 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

5.

На столе лежит куча из 2017 ракушек. Из нее убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, каждая из которых состоит из трёх ракушек?

6.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т. д.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

7.

Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку. Докажите, что три кузнечика не могут оказаться на одной прямой.

Дополнительные задачи

8.

Можно ли при каком-нибудь N доску размерами 4×N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?

9.

Фишка ходит по квадратной доске, каждым своим ходом сдвигаясь либо на клетку вверх, либо на клетку вправо, либо по диагонали вниз-влево. Может ли она обойти всю доску, побывав на всех полях ровно по одному разу, и закончить на поле, соседнем справа от исходного?

10.

Даны числа 1, 2, ..., N, каждое из которых окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких N всегда можно сделать все числа белыми?