МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 1 (26 сентября 2015 года)

1.

На клетчатой бумаге отмечены четыре узла — вершины квадрата 4×4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник площади 6 клеток.

2.

Каждый житель острова либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, всегда говорящий неправду. Однажды 50 островитян сели за круглый стол, и каждый сказал про своего соседа справа, рыцарь тот или лжец. При этом жители, сидящие на 1-м, 3-м, ... и 49-м местах, сказали „Рыцарь”, а сидящие на 2-м, 4-м, ... и 48-м местах — „Лжец”. Что мог сказать житель, сидящий на 50-м месте? (Места занумерованы по кругу, начиная с некоторого.)

3.

На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Что написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

4.

Найдите сумму всех девятизначных чисел, в записи которых участвуют все цифры, кроме нуля.

5.

В Мексике экологи добились принятия закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и «выходной» день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый — по своим делам). Сколько (самое меньшее) автомобилей должно быть в семье, если взрослых в ней а) пять? б) восемь?

6.

Можно ли так отметить на плоскости пять точек, чтобы они служили вершинами ровно для семи треугольников?

Дополнительные задачи

7.

Можно ли последовательно поставить на плоскости сто точек так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

8.

На бесконечной шашечной доске на соседних по диагонали чёрных клетках стоят две чёрные шашки. Можно ли поставить на доску ещё несколько чёрных шашек и одну белую так, чтобы белая одним ходом съела все чёрные?

9.

Придумайте какое-нибудь замощение плоскости равными пятиугольниками.