МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 24 (14 апреля 2012 года). Козы

Занятие 24 посвящено козам. Эти животные очень прожорливы и съедают всё, до чего могут дотянуться. Поэтому коз приходится держать на привязи.

1.

Математик прогуливался по лугу, держа козу на поводке длины 1 м. Математик обошёл по периметру прямоугольник 3 м × 5~м. Нарисуйте участок, на котором могла побывать при этом коза, не обрывая поводка.

2.

Удержите козу на участке, изображённом на рисунке слева. (Привяжите её с помощью верёвок и колышков так, чтобы она могла есть траву внутри и только внутри этого участка.)

3.

На лугу между двумя колышками натянем верёвку. У второй верёвки один конец привяжем к ошейнику козы, а на другом сделаем петлю, скользящую по первой верёвке. Какой участок выест коза?

4.

Удержите козу в а) полукруге; б) прямоугольнике.

5.

В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать три ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.

* * *

6.

Как действовать, чтобы «ограничить» козу заданным а) треугольником; б) выпуклым многоугольником?

7.

Среди поля проходит прямая дорога, по которой со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из которых можно догнать автобус, если бежать с такой же скоростью.

8.

Дан квадрат с длиной диагонали 10 м. Натянули две верёвки: каждая соединяет две противоположные вершины квадрата. Третья верёвка имеет длину 4 м, её концы прикреплены с помощью петель к натянутым верёвкам так, что первый конец может свободно скользить по первой верёвке, а второй конец — по второй. По третьей верёвке скользит петля, к которой прикреплён ошейник козы. Какую территорию опустошит коза?

* * *

9.

Как действовать, чтобы «ограничить» козу заданным невыпуклым четырёхугольником?

10.

Забор имеет вид треугольника. Внутри к серединам двух сторон привязали верёвкой по козе; длина каждой верёвки равна половине длины стороны, к которой она привязана. Могут ли козы съесть всю траву внутри забора?

11.

Боря гулял по стороне BC треугольника ABC, а Андрей — по стороне AC. В некоторый момент они увидели друг друга, повернули и пошли навстречу друг другу. Где они могли встретиться? (Скорости мальчиков одинаковы.)