МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 21 (24 марта 2012 года). Инвариант II

Инвариант — это свойство процесса, не изменяющееся со временем.

Для решения задач этого занятия может оказаться полезным понимать, как решались задачи первого занятия по инварианту.

1.

На n ёлках сидят n чижей, на каждой ёлке — по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж перелетает на столько же метров в противоположном направлении.

б)

При каких n все чижи смогут собраться на одной ёлке?

а)

Если задача в общем виде не получается, разберите случай n = 6.

2.

Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом — 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

3.

По кругу стоят натуральные числа от 1 до 6 по порядку. Разрешается к любым трём подряд идущим числам прибавить по 1 или из любых трёх, стоящих через одно, вычесть 1. Можно ли с помощью нескольких таких операций сделать все числа равными?

4.

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т. д. После одиннадцати таких вычитаний получился ноль. С какого числа начинали?

* * *

5.

На доске выписаны числа 1, ¹/₂, ¹/₃, ..., ¹/_n. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число a + b + ab. Такую операцию проделываем до тех пор, пока не останется одно число. Какое число может остаться?

6.

В каждой вершине куба стоит число + 1 или − 1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани. Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной нулю?

7.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

* * *

8.

Можно ли доску размерами 4× N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?

9.

Дан выпуклый 2m-угольник A₁...A_2m. Внутри его взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей. Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A₁, ..., A_2m.