МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 8 (5 ноября 2011 года)

1.

Двух шестиклассников и двух семиклассников из одной школы спросили: «Кто в вашей школе выше: семиклассники или шестиклассники?» Прозвучали следующие ответы:

1. Любой семиклассник выше некоторого шестиклассника.
2. Некоторый семиклассник выше некоторого шестиклассника.
3. Любой семиклассник выше любого шестиклассника.
4. Некоторый семиклассник выше любого шестиклассника.

После этого семиклассники признались, что пошутили, а шестиклассники подтвердили, что отвечали честно. Можно ли определить, верно ли а) первое, б) второе, в) третье, г) четвёртое утверждение?

2.

На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Можно ли с помощью таких операций добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну воды?

3.

Все натуральные числа покрашены в два цвета: зелёный и красный. Известно, что если число A зелёное, то и число A + 6 тоже зелёное, а если число B красное, то и число B + 15 тоже красное.

а)

Приведите пример такой раскраски (оба цвета должны быть использованы).

б)

Может ли среди первых 10 чисел быть ровно 5 красных?

* * *

4.

Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? (Укажите все решения.)

5.

В коробке лежат а) 33; б) 333 спички. За ход разрешается взять из коробка не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

6.

Сто пассажиров выстроились для посадки в самолёт в очередь по порядку своих мест. Первой в салон вбежала сумасшедшая старушка и села на любое из ста мест (возможно, на своё). Каждый следующий пассажир садился либо на своё место, если оно свободно, либо на случайное, если его место занято. На чьё место мог сесть сотый пассажир?