МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 17 (25 февраля 2012 года)

1.

Незнайка хочет нарисовать замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с двумя другими. Незнайка понимает, что можно нарисовать такую ломаную из пяти звеньев, но ему хочется, чтобы в его ломаной звеньев было бы побольше, а сколько именно — он сказать не может, так как не знает, какое ещё число звеньев возможно. Научите Незнайку рисовать такую ломаную из а) 7; б) 12; в) 10; г) 100; д) 2024 звеньев.

2.

Петя заполнил клетки таблицы числами так, что сумма чисел, стоящих в любых трёх подряд идущих клетках, равнялась 15, а двоечник Колька стёр почти все числа. Сможете ли вы восстановить таблицу?

3.

Клетки доски 4×4 раскрашены в 4 цвета так, что в каждом квадратике 2×2 все клетки разного цвета. Могут ли угловые клетки а) на одной стороне; б) на одной диагонали быть одного цвета?

* * *

4.

План Бесконечного города имеет вид бесконечного листа клетчатой бумаги. Совершая инспекционную поездку по городу, губернатор на каждом перекрёстке поворачивал под прямым углом либо налево, либо направо. Через некоторое время шофёр губернатора заметил, что они едут по дороге, по которой они уже проезжали. Докажите, что они едут в ту же сторону, что и в первый раз.

5.

На доске написано число. За один ход к нему можно прибавить любой его собственный (т. е. отличный от единицы и самого числа) делитель и написать результат на доске вместо исходного числа. Опишите все числа, которые можно за несколько таких ходов получить из числа 4.

6.

Решите задачу 3 для доски а) 6×6, б) 8×8.

* * *

7.

Решите задачу 3 для доски n×m.

8.

Дана произвольная строка из 2^k чисел 1 и −1. Из неё получается новая строка по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним, последнее (2^k-е) число умножается на первое. С новой строкой из 1 и −1 проделывается то же самое, и так далее. Докажите, что в конце концов получится строка, состоящая из одних единиц.

9.

N человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом N.