МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 10 (19 ноября 2011 года)

1.

Предложил чёрт лодырю: «Всякий раз, как перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей». Трижды перешёл лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?

2.

По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём есть как единицы, так и нули. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывают 0 в случае, если числа равны, и 1 в противном случае. После этого старые числа стираются. Могут ли в конце все числа оказаться нулями?

3.

Разрешается умножить число на любую его цифру или вычесть из числа любую его цифру. Можно ли из числа 5 за несколько таких операций получить число 91?

4.

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Могут ли кузнечики в некоторый момент оказаться на одной прямой?

* * *

5.

Костя задумал натуральное число, умножил его на 4, стёр последнюю цифру результата, умножил на 5, опять стёр последнюю цифру, умножил на 6, стёр последнюю цифру, умножил на 7, стёр последнюю цифру. Получилось число 21. Какое число мог загадать Костя?

6.

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Могут ли кузнечики в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера?

7.

На кольцевой дороге установлено 10 светофоров. Каждую минуту они одновременно меняют цвет по следующему правилу: если два соседних (справа и слева) светофора горели одним цветом, то светофор между ними загорается этим же цветом, а если два соседних светофора горели разными цветами, то светофор между ними загорается третьим цветом. В начальный момент один светофор горел красным цветом, а остальные — зелёным. Может ли случиться, что через какое-то время все светофоры будут гореть жёлтым цветом?

Дополнительные задачи

8.

За столом сидят 7 гномов, перед каждым — кружка, в некоторые налит эль (но, быть может, не поровну). Первый разлил весь свой эль поровну в кружки всем остальным. Затем второй разлил свой эль поровну всем остальным (включая первого), затем третий гном и т.д. до седьмого. Когда и седьмой гном разлил свой эль, у всех оказалось столько же эля, сколько было вначале. Сколько эля в каждой кружке, если всего его 3 литра?

9.

а)

Расставьте 7 звёздочек в таблице 4×4 так, чтобы при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов оставалась невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

б)

Докажите, что 6 звёздочек так расставить нельзя.