МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 7 (29 октября 2011 года). Игры

1.

В коробке лежат конфеты, которых  а) 27, б) 50, в) 8, г) 1000,  д) N > 1.  Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости — нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник, и правило честности — первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается взявший последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?

2.

На аукционе продают 3 картины. У каждого из двух покупателей по три монеты. Сначала продают первую картину. Покупатели по очереди называют цену, каждый раз выше предыдущей, либо кто-то говорит „отказываюсь от торга”. В этом случае картина достаётся сопернику (а названное последний раз этим соперником количество монет уходит устроителям аукциона; если один покупатель отказался от торга до того, как была названа первая цена, то второй покупатель получает картину бесплатно). Далее продаётся следующая картина (очерёдность ходов продолжает соблюдаться, отказ от торга — не ход), потом последняя. Побеждает тот, кто купил больше картин. Кто победит при правильной игре?

2.

В стране два главных города, А и Б. Многие города соединены просёлочными дорогами (карты прилагаются). Две строительные фирмы по очереди асфальтируют по одной дороге. Та фирма, после хода которой впервые возникает возможность проехать по асфальту от А до Б, объявляется победительницей, а другая проигрывает. Для каждой карты определите, какая фирма победит — та, которая начинает, или её соперница?

* * *

4.

Решите задачу 2 для случая, когда у каждого из покупателей по N монет (N ≥ 4).

5.

а)

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет пойти. Кто выигрывает при правильной игре?

б)

Пусть теперь игроков трое. Могут ли первый и третий объединиться и играть так, чтобы второй обязательно проиграл?