МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 22 (31 марта 2012 года)

1.

В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй — 80; третий — среднее арифметическое очков первых двух; четвёртый — среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 50-й стрелок?

2.

а)

Незнайка получил за неделю 10 оценок, причём 9 из них — двойки. Он заявил, что это хороший результат, ведь доля двоек среди всех его оценок уменьшилась. Докажите, что такое действительно могло быть.

б)

На следующей неделе Незнайка получил 15 оценок, ровно 12 из них — двойки. Могла ли доля двоек при этом увеличиться (по сравнению с долей в начале недели)?

3.

Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку — число Q — показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей этой страны.

а)

Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.

б)

После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли? (Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился).

4.

В трёх кувшинах было кофе с молоком, причём концентрация молока везде разная. В первую чашку налили кофе из кувшинов №2 и №3, во вторую чашку — из кувшинов №3 и №1, а в третью чашку — из кувшинов №1 и №2. Может ли случиться, что концентрация молока во всех чашках одинакова?

* * *

2.

в)

На следующей (за неделей из пункта б) неделе Незнайка получил только двойки, 19 штук. В результате доля двоек стала такой же, какой она была до событий из пункта а. Какой?

5.

Едет колонна автобусов. Некоторые из них переполнены (переполненным будем считать автобус, в котором больше 50 пассажиров). Что больше: доля переполненных автобусов (среди всех автобусов) или доля пассажиров, едущих в переполненных автобусах (среди всех пассажиров)?

6.

Имеется два дома, в каждом по два подъезда. Жильцы держат кошек и собак, причём доля кошек (отношение числа кошек к общему числу кошек и собак) в первом подъезде первого дома больше, чем доля кошек в первом подъезде второго дома, а доля кошек во втором подъезде первого дома больше, чем доля кошек во втором подъезде второго дома. Верно ли, что доля кошек в первом доме больше доли кошек во втором доме?

* * *

3.

в)

Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б — в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на противоположное — часть жителей В переехала в Б, а часть жителей Б — в А. Оказалось, что в результате рейтинги всех трех стран опять выросли (по сравнению с теми, которые были после первого переезда, но до начала второго. Так, во всяком случае, утверждают информационные агентства этих стран.) Может ли такое быть?

7.

Гриб называется плохим, если в нём хотя бы 12 червяков. Червяк — тощий, если он съел не более ¹/₅ гриба, в котором живёт. Четверть всех грибов в лесу — плохие. Докажите, что не менее трети всех червяков — тощие.