МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 4 (8 октября 2011 года). Рассуждаем от противного

1.

На балу все дамы танцевали первый тур вальса, при этом каждый военный танцевал с блондинкой. Докажите, что каждая брюнетка танцевала первый тур вальса со штатским.

2.

По кругу лежит 15 шариков двух цветов. Докажите, что найдутся два соседних шарика одного цвета.

3.

Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой компании.

4.

На острове живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрании островитян по случаю дня рождения острова некоторые участники собрания заявили, что среди собравшихся лжецов больше, чем рыцарей. Докажите, что на собрании были и лжецы, и рыцари.

5.

а)

Докажите, что если произведение двух целых чисел чётно, то хотя бы одно из них чётно.

б)

Докажите, что если произведение двух целых чисел делится на 3, то хотя бы одно из них делится на 3.

* * *

6.

Все натуральные числа покрасили в пять цветов. Докажите, что найдётся миллион чисел одного цвета с одинаковой суммой цифр.

7.

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

8.

Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

Дополнительные задачи

9.

На квадратной доске 10×10 клеток расставлены шашки, причём во всех вертикалях стоит разное (возможно, нулевое) число шашек, и на всех горизонталях стоит разное (возможно, нулевое) число шашек. Сколько всего шашек может быть на доске?

10.

Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что за двузначные номера приходится платить вдвое, а за трёхзначные — втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде?