МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2011/2012 учебный год

Занятие 11 (26 ноября 2011 года). Раскраска

1.
а)
Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями — одинаковы. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел его сосед Лёша?
б)
Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел кузнечик Лёша?
2.
Можно ли раскрасить все точки а) прямой; б) плоскости в два цвета так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 см были разного цвета?
3.
В таблице 8×8 угловая клетка покрашена чёрным цветом, остальные белым. За ход можно одновременно поменять цвета всех клеток в столбце или строке. Можно ли через несколько ходов получить таблицу, покрашенную в белый цвет?

* * *

4.
В какое наибольшее число цветов можно покрасить все точки плоскости, чтобы каждая прямая была покрашена не более чем в два цвета?
5.
В таблице 8×8 все угловые клетки покрашены чёрным цветом, остальные белым. За ход можно одновременно поменять цвета всех клеток в столбце или строке. Можно ли через несколько ходов получить таблицу, покрашенную в белый цвет?
6.
Раскрасьте все точки плоскости в девять цветов так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 см были разного цвета.
7.
Можно ли раскрасить все точки плоскости в три цвета так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 см были разного цвета?

* * *

8.
Раскрасьте все точки плоскости в а) восемь; б) семь цветов так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 см были разного цвета.
9.
На горе 1001 ступенька. На 500 нижних ступеньках лежат камни, остальные ступеньки свободны. Сизиф играет с Аидом в следующую игру. Своим ходом Сизиф берёт любой камень и переносит его на ближайшую сверху свободную ступеньку. После этого Аид сбрасывает вниз на одну ступеньку произвольный камень, под которым есть свободная ступенька. Цель Сизифа — положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли Аид ему помешать?