МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 15 (11 февраля 2012 года). Взвешивания

Сегодня в некоторых задачах рассматриваются чашечные весы без гирь. У таких весов есть две чаши, на каждую из которых мы можем что-нибудь положить. Если вес предметов на чашах оказался равным, то чаши не меняют своего положения, иначе чаша с бóльшим весом опускается, а с меньшим поднимается. Узнать, на сколько одна чаша тяжелее другой, с помощью таких весов невозможно.

0.

Есть три монеты. Среди них — две настоящие и одна фальшивая. Фальшивая отличается от настоящей по весу, но неизвестно, легче она или тяжелее. Как с помощью нескольких взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

1.

Имеется 9 монет, одна из которых фальшивая, причём она легче других. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выявить фальшивую монету?

2.

Советские монеты достоинством 1, 2, 3 и 5 копеек весили столько грамм, во сколько копеек ценились. Имеется четыре таких монеты разного достоинства, причём известно, что среди них есть ровно одна фальшивая, отличающаяся весом от обычной. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

3.

Незнайка интересуется художественными вкусами своих знакомых. Каждый день он подходит к кому-нибудь (кого он ещё не спрашивал) и задает пять вопросов: «Нравятся ли тебе картины Рембрандта?», «Нравятся ли тебе картины Ван Гога?», и ещё три аналогичных вопроса про картины Пикассо, Дали и Кандинского. На каждый из вопросов принимается только один из ответов «нравится», «не нравится», «мне всё равно». Незнайка заявил: «Уже больше года я каждый день задаю кому-нибудь этот вопрос, и сколько разных людей опросил, столько разных мнений!» Не ошибается ли Незнайка?

4.

Имеется 50 монет, одна из которых фальшивая, причём она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний можно найти фальшивую монету?

5.

Четыре ребёнка резвились на детской площадке. Покачавшись на качелях, они решили выяснить, кто из них самый тяжёлый, кто почти самый тяжёлый, кто самый лёгкий и кто почти самый лёгкий (известно, что все дети разного веса). Садясь по одному на противоположные сиденья качелей, они узнают, кто из двоих тяжелее. Какого наименьшего количества сравнений им хватит?

* * *

6.

Имеется 12 монет. Одна из них фальшивая, но неизвестно, легче ли она, чем настоящая, или тяжелее. Как с помощью трёх взвешиваний найти фальшивую монету?

7.

Имеются 6 гирь весом 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На них нанесена соответствующая маркировка. Однако есть основания считать, что при маркировке гирь могла быть допущена одна ошибка: надписи на каких-то двух гирях перепутаны местами. Как при помощи двух взвешиваний определить, верна ли имеющаяся на гирях маркировка?

8.

Даны 8 гирек весом 1, 2, ..., 8 граммов, но неизвестно, какая из них сколько весит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что помнит, какая из гирек сколько весит, и в доказательство своей правоты готов провести одно взвешивание, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь. Не обманывает ли он?

* * *

9.

Имеется 9 одинаковых с виду монет, одна из которых фальшивая, причём она легче других. Мы располагаем двумя весами без гирь, позволяющими сравнивать по весу любые группы монет. Однако одни из имеющихся весов являются грубыми, на них нельзя отличить фальшивую монету от настоящей. Но какие весы грубые, а какие точные — неизвестно. Как с помощью трёх взвешиваний определить фальшивую монету?

10.

Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, также упорядоченная по весу. Известно, что все монеты различны по весу. В нашем распоряжении — двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-ое место? (Укажите это число и докажите, что меньшим числом взвешиваний обойтись нельзя.)