МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 9. Неравенства. Сумма и произведение.

Маленькое примечание для тех, кто не знает, что означает, возвести число в дробную степень: число в степени ½ — это то же самое, что арифметический квадратный корень из этого числа.

1

Докажите, что x² + y² ≥ 2xy для любых x и y.

2

Докажите, что x + y ≥ 2(xy)^½ для любых неотрицательных x и y.

3

Докажите, что z + ¹/_z ≥ 2 для любого положительного z.

4

Докажите, что при постоянной сумме двух чисел их произведение тем больше, чем ближе числа друг другу.
Например, 5 + 5 = 4 + 6 = 3 + 7 и 5 × 5 > 4 × 6 > 3 × 7.

5

Докажите, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

6

Докажите, что из всех прямоугольников данной площади наименьший периметр имеет квадрат.

В следующих трех задачах решение пункта a) поможет Вам решить пункт b) и наоборот.

7

a)

Докажите неравенство: ^a/_b + ^b/_a ≥ 2 для любых положительных a и b.

b)

У продавца, который продаёт сахар, есть рычажные весы, которые имеют плечи не совсем одинаковой длины, и гиря весом 1 кг. Покупатель хотел купить 2 кг сахара. Так как весы показывают не совсем точно, продавец первый килограмм взвесил на одной чаше весов, а второй — на другой. Кто выиграл, покупатель или продавец?

8

a)

Докажите, что при s > 0 и v > w > 0 выполнено неравенство:

s	+	s	≥ 2	s
v + w		v − w		(v² − w²)½

b)

Корабль плывёт из A в B по течению реки, а затем возвращается против течения (скорость течения и кораблей постоянны). Потратит ли он на весь путь больше или меньше времени, чем на равный путь по озеру?

9

a)

Докажите, что для всех положительных a и b выполнено неравенство: 2a + b ≥ 2(2ab)^½. При каких a и b неравенство превращается в равенство?

b)

Прямоугольный участок около реки с трёх сторон огорожен забором (четвёртая сторона — берег, поэтому там забор не нужен). Длина забора 100 метров. Какую максимальную площадь может иметь этот участок?

10

Сколько решений имеет система из двух уравнений с тремя неизвестными?

{	x	+	y	=	2
	xy	−	z²	=	1