МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 14. Неравенство треугольника

Теорема. Для любых трёх точек A, B, C справедливо неравенство AB + BC ≥ AC, причём равенство AB + BC = AC достигается только в случае, если точка B принадлежит отрезку AC. Для треугольника это означает, что сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны.

0

Докажите эту теорему.

1

В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 4, а вторая 8. Чему равна третья сторона?

2

В треугольнике длины двух сторон равны 3,14 и 0,67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.

3

Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Докажите, что AB + CD < AC + BD

4

На каждой стороне квадрата отмечено по точке. Докажите, что периметр образованного ими четырехугольника не меньше удвоенной длины диагонали квадрата.

5

ABCD — выпуклый 4-угольник, причем AB + BD < AC + CD. Докажите, что AB < AC.

6

Докажите, что медиана AM в треугольнике ΔABC по длине меньше, чем (AB + AC)⁄2.

7

Докажите, что медиана AM в треугольнике ΔABC по длине больше, чем (AB + AC − BC)⁄2.

8

a)

Из любых ли 100 палочек можно выбрать три, из которых можно составить треугольник? (Ломать палочки нельзя!)

Решение

Решение. Нет, не из любых. Чтобы треугольник нельзя было составить из трех палочек, они должны сильно отличаться по длине друг от друга. Поэтому, для того чтобы подобрать 100 палочек с нужным нам свойством, надо взять какую-нибудь очень быстро растущую последовательность чисел. Например, 1, 2, 2², … 2⁹⁹ Из палочек такой длины нельзя выбрать три палочки составляющих треугольник, так как если k < m < n, то 2^k + 2^m < 2^m + 2^m = 2^{m + 1} ≤ 2ⁿ неравенство треугольника не выполнено.

b)

Петя купил «Конструктор», в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к «Конструктору» написано, что из любых трёх палочек «Конструктора» можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

Решение

Решение. Достаточно одной проверки. Надо сравнить длину самой длинной палочки с суммой длин двух самых коротких.

9

Пусть P — периметр некоторого треугольника, M — сумма длин его медиан. Докажите неравенства a) M < P; b) M > ^3P/₄.