МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 19. Целое решение!

1.

Найдите все решения в целых числах уравнений:

a)

x − y = 0;

b)

5x − 3y = 0;

c)

15x + 9y = 0.

2.

Решите в целых числах уравнение 15x − 9y = − 7.

3.

На прямой сидит блоха, которая может прыгать на 5 см или 7 см вправо или влево. Сможет ли она сместиться после нескольких прыжков вправо на 3 см от начального положения? Если сможет, то как она должна прыгать?

4.

Решите в целых числах уравнение 5x − 7y = 3 «по шагам»:

a)

найдите какое-нибудь одно решение;

b)

найдите какие-нибудь три решения;

c)

рассмотрите разность чисел в двух разных парах, для которых выполнены равенства 5x₁ − 7y₁ = 3 и 5x₂ − 7y₂ = 3;

d)

найдите все решения уравнения 5x − 7y = 3 в целых числах.

5.

Решите в целых числах уравнения:

a)

3x + 5y = 13;

b)

10x + 15y = − 5;

c)

− 6x + 21y = 18.

6.

Решите в натуральных числах уравнение 2000x + 513y = 2513.

7.

Решите в целых числах уравнение 2000x + 513y = 329.

8.

Пусть a и b – натуральные числа и a > b. Поделим a на b с остатком: a = bq + r, 0 ≤ r < b.

a)

Докажите, что НОД(a, b) = НОД(a − b, b).

b)

Докажите, что НОД(a, b) = НОД(r, b).

9.

Решить в целых числах уравнения

a)

xy=x + y.

b)

xy=x + y + 3.

10.

Сколько существует треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?

11.

На автобусе ездил Андрей
На кружок и обратно домой,
Заплатив 115 рублей,
Покупал он себе проездной.

В январе он его не достал,
И поэтому несколько дней
У шофёра билет покупал
Он себе за 15 рублей.

А в иной день кондуктор с него
Брал 11 только рублей.
Возвращаясь с кружка своего
Всякий раз шёл пешком наш Андрей.

За январь сколько денег ушло,
Посчитал бережливый Андрей:
С удивлением он получил
Аккурат 115 рублей!

Сосчитайте теперь поскорей,
Сколько раз был кружок в январе?