МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2004/2005 учебный год

Листок 15. Как науки друг другу помогают

1
Докажите геометрически равенства:
a)
(a + b)² = a² + 2ab + b²,
b)
(a − b)² = a² − 2ab + b²,
c)
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc,
d)
a² − b² = (a + b)(a − b),
e)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³,
f)
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2,
g)
1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = n².
2
В прямоугольнике a) 7 × 13, b) 100 × 170, c) n × m, вырезанном из клетчатой бумаги, провели диагональ. Сколько клеток она пересекает?

Ответ

Ответ.

a) 19

b) 260

c) n + m − НОД(n, m)

3
Какова площадь (измеренная в клеточках) треугольника ΔABC?

Ответ Решение

Решение. «Достроим» треугольник до квадрата KMNB:

Площать треугольника ΔABC теперь легко вычислить, поскольку

Площадь(ΔABC) = Площадь(KMNB) − Площадь(ΔABK) − Площадь(ΔACM) − Площадь(ΔBCN)

а все дополняющие треугольники — прямоугольные. Площадь прямоугольного треугольника легко вычислить, так как она равна полонине площади прямоугольника, до которого треугольник легко дополняется:

То есть она равна половине произведения длин катетов. Итак,

Площадь(ΔABC) = 3×3 − 2×3⁄2 − 1×2⁄2 − 1×3⁄2 =
= 9 − 3 − 1 − 3/2 = 31/2
4
Найдите площадь квадрата ABCD с помощью теоремы Пифагора и без неё.

Ответ Решение

Решение.
Первый способ: C помощью теоремы Пифагора, примененной к треугольнику ΔABM, находим, что сторона квадрата равна

AB = VAM² + BM² = V3² + 1² = V9 + 1 = V10

Площадь квадрата равна AB² = 10.

Второй способ: переместим, как показано на рисунке красный треугольник на красное место, а зелёный — на зеленое.

Теперь можно подсчитать количество клеточек, которое занимает фигура. Ответ: 10.

5

Расположите на поле игры «Морской бой» все корабли, нарисованные так как на картинке, чтобы на каждой горизонтали (вертикали) число закрашенных клеток совпадало с числом, написанным справа (снизу) от поля.

Некоторые корабли или их части на поле уже нарисованы. Корабли не могут располагаться в клетках с общей стороной или углом.

6
Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой бумаге: первый ставит два крестика, второй отвечает одним ноликом, первый ставит ещё два крестика, второй ещё нолик и так далее. Для выигрыша нужно поставить 30 крестиков или ноликов подряд по вертикали или горизонтали. Докажите, что первый всегда сможет выиграть.