МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2004/2005 учебный год

Листок 3. Системы счисления. Дополнение

0.
Вычислите в столбик
a)
236518 + 170438, 4236 + 13416 + 5216;
b)
763429 − 387889, 6023417 − 134527;
c)
43245 × 1235, 20103 × 2213;
d)
1201113 : 1023, 141335 : 2435;
e)
разделите с остатком 32204 : 224.
1.
Преобразуйте из одной системы счисления в другую
a)
представьте число 7128 в системе счисления с основанием 5
b)
переведите число 20103 в систему счисления с основанием 9
c)
запишите 657 в двоичной системе счисления
d)
переведите в троичную систему счисления число 98710
2.
a)
Докажите признак делимости на 5 и 2 в десятичной системе счиcления.
b)
Докажите признак делимости на 3 и 9 в десятичной системе счиcления.
3.
a)
Для всех ли систем счисления с основанием q верно, что число (an an-1 an-2 ... a2 a1 a0)q делится на 3, если на 3 делится сумма чисел a0 + a1 + a2 + ... + an.
b)
Для всех ли систем счисления с произвольным основанием q верно, что сумма a0 + a1 + a2 + ... + an делится на 3, если на 3 делится число (an an-1 an-2 ... a2 a1 a0)q.
4.
Докажите признаки делимости в разных системах счисления
a)
Число (an an-1 an-2 ... a2 a1 a0)12 делится на 8, если на 8 делится число (a1 a0)12? образованное его двумя последними цифрами.
b)
Число (an an-1 an-2 ... a2 a1 a0)12 делится на 9, если на 9 делится число (a1 a0)12? образованное его двумя последними цифрами.
c)
Число (an an-1 an-2 ... a2 a1 a0)12 делится на 11, если на 11 делится сумма чисел a0 + a1 + a2 + ... + an.
5.
Найдите все числа q ≤ 12, при которых число a) 2420q, b) 3630q делится на 7.
6.
a)
Представьте число qn в q-ичной системе счисления.
b)
Представьте число qn−1 в q-ичной системе счисления.
c)
Докажите, что число (qn−1) делится на (q−1) для любого q.