МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 5. Опять делимость и остатки.

0.

a) Спрячьте калькулятор в сумку b) а теперь докажите, что сумма 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 делится на 7 и на 87.

1.

Найдите все пары целых чисел a и b, для которых a) a² − b² = 9; b) a² − b² = 12.

2.

Отметьте на числовой оси все натуральные числа, которые при делении на 7 дают остаток 2. (Нарисуйте отрезок числовой оси от −20 до +20).

3.

Какие остатки может давать точный квадрат при делении на 3?

4.

Существуют ли такие два числа a и b, что a² − 3b² = 8?

Подсказка

Подсказка. Используйте предыдущую задачу

5.

А какие остатки может давать точный квадрат при делении на 4?

6.

Известно, что a² делится на a − b. Докажите, что b² тоже делится на a − b.

7.

a² + b² делится на 21. Докажите, что a² + b² делится на 441.

8.

Докажите, что число (n³ + 2n) делится на 3 при любом n.

9.

Докажите, что число (53ⁿ − 14ⁿ + 27ⁿ − 14) делится на 13 при любом n.

10.

Докажите, что дробь

12n + 1

30n + 2

несократима при любом n.

11.

Сумма двух цифр a+b делится на 7. Докажите, что число (aba)₁₀ делится на 7.

12.

Найдите число, дающее при делении на 2 остаток 1, при делении на 3 остаток 2, на 4 — остаток 3, на 5 — остаток 4, на 6 — остаток 5, на 7 — остаток 6.

13.

Число a четно, но не делится на 4. Докажите, что у этого числа четных и нечетных делителей поровну. (Например, у a=10 есть два четных делителя 2 и 10 и два нечетных — 1 и 5.)

14.

Какое наибольшее число различных целых чисел можно выбрать, чтобы разность любых двух из них не делилась на 15.

15.

Число дает остаток 6 при делении на 12. a) Может ли оно давать остаток 12 при делении на 20? b) Остаток 5 при делении на 13? c) Остаток 18 при делении на 24?

16.

Докажите, что число и сумма его цифр (в 10-чной системе счисления) имеют одинаковые остатки при делении на 9.

17.

Натуральное число увеличили на 1. Могла ли сумма его цифр возрасти на 8? Уменьшиться на 8? Уменьшиться на 10?

18.

Докажите, что если a и 5a имеют одинаковую сумму цифр, то a делится на 9.

19.

Составьте таблицы сложения и умножения a) по модулю 6, b) по модулю 5. c) Верно ли, что в любой строке и любом столбце такой таблице всегда встретятся все остатки ровно по одному разу?

20.

Рассмотрим последовательность остатков от деления чисел 5, 2·5, 3·5 ... на 8. Докажите, что она периодична и найдите период.

21.

Последовательность остатков от деления a, 2a, 3a ... на 12 периодична для любого целого числа a. Докажите. Какие периоды возможны?

22.

Верно ли утверждение задачи 21 для остатков от деления на 11, и какие периоды возможны тут?

23.

Найдите натуральное число n, такое, что 5n ≡ 1 (mod 3). Найдите все такие числа.

24.

Пусть p — простое число. Докажите, что для любого некратного ему натурального числа a найдется натуральное число b, такое, что ab ≡ 1 (mod p). (Прежде, чем решать, вспомните задачу 22)

25.

a)

Рассмотрите последовательность остатков от деления на 3 степеней двойки: 2, 2²=4, 2³=8 ... Докажите, что она периодична.

b)

Докажите то же самое для остатков от деления на 5.

c)

Докажите, что последовательность остатков от деления на 13 степеней любого числа a: a, a², a³ ..., периодична.