МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2004/2005 учебный год

Листок 4. Делимость. Остатки.
Отношение сравнимости.

1.
15a делится на 6. Верно ли, что a делится на 6?
2.
Сколько делителей имеют числа a) pq, b) p², c) p² q³ (p и q — разные простые числа).
3.
56a = 65b. Докажите, что a+b — составное.
4.
Доказать, что НОД(a,b) × НОК(a,b) = ab.
5.
Решите в целых числах x³ - 4x² - 4x - 5 = 0.
6.
Докажите, что число имеющее нечетное число делителей — точный квадрат.
7.
a² + b² делится на 21. Докажите, что a² + b² делится на 441.
8.
Существуют ли такие два числа a и b, что a² - 3b² = 8?
9.
На какую цифру заканчиваются числа a) 2100 b) 777777 c) 777.
10.
Найдите остаток от деления на 11 числа 45100 - 54²00 + 121³00 .
11.
a и b делятся на k. Какие из этих чисел наверняка делятся на k: a+b, a-b, ab, a/b.
12.
Число (3a + 4b + 5c) делится на 11. Докажите, что число (9a+b+4c) тоже делится на 11.
13.
Найдите наименьшее число n, такое, что n! делится на 990.
14.
Может ли n! оканчиваться ровно 5 нулями?
15.
Докажите, что число (n³ + 2n) делится на 3 при любом n.
16.
Докажите, что число (53n - 14n + 27n - 14) делится на 13 при любом n.
17.
Докажите, что дробь
12n + 1
30n + 2
несократима при любом n.
18.
Сумма двух цифр a+b делится на 7. Докажите, что число (aba)10 делится на 7.
19.
Пусть p — простое число. Докажите, что для любого некратного ему натурального числа a найдется натуральное число b, такое, что ab ≡ 1 (mod p).