МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 1. Вспомнить всё

1

В жюри олимпиады входят 8 человек. Их суммарный возраст — 280 лет. Докажите, что из них можно выбрать троих, сумма возрастов которых не менее 105 лет.

2

40 малышей в детском саду строят из кубиков двух цветов башню, высотой 5 кубиков (каждый малыш строит свою башню). Докажите, что найдутся хотя бы две одинаковые башни.

3

Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше, философов или математиков?

4

Каждая клетка таблицы 1999 × 1999 покрашена в один из двух цветов. За один ход разрешается все клетки любой строки (или столбца) перекрасить в тот цвет, который чаще встречается в этой строке (столбце). Удастся ли перекрасить всю таблицу в один цвет?

5

Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 — кубом целого числа.

6

В таблице 3 × 3 записаны числа — 1, 0, 1. Может ли оказаться, что суммы чисел по всем строкам, столбцам и главным диагоналям различны?

7

В таблице 10 × 10 расставлены натуральные числа. В каждой строке подчеркнули наибольшее натуральное число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце — наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчеркнутые числа подчеркнуты два раза. Докажите, что все числа в таблице равны.

8

Пассажир, проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шел вдоль линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 сек пассажир вышел из трамвая и пошел догонять своего знакомого. Через сколько секунд он догонит знакомого, если он идет в два раза быстрее знакомого и в пять раз медленнее трамвая?

9

Даны 12 различных двузначных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых — двузначное число, записываемое двумя одинаковыми цифрами.