МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 17. Чики-брики, повтори-ка

Шла веселая собака, Чики-брики-гав! А за ней бежали гуси, Головы задрав, А за ними - поросенок, Чики-брики-хрю! Чики-брики, повтори-ка, Что я говорю?

Считалочка

1

Петя тратит ¹/₃ своего времени на школу, ¹/₅ — на игру в футбол, ¹/₆ — на телевизор, ¹/₇ — на решение задач по математике, и ¹/₃ — на сон. Можно ли так жить?

2

Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в «нормальных» м/мин) бегает таракан Валентин?

3

Наследство состоит из нескольких бриллиантов и оценивается в 1 000 000 долларов. Известно, что его можно разделить на 5, а можно и на 8 равных частей. Какую наибольшую стоимость может иметь самый маленький бриллиант?

4

Докажите, что n⁷ − 36n делится на 7 при любом натуральном n.

5

Даны 10 различных положительных чисел. В каком порядке их нужно обозначить a₁, a₂, ... , a₁₀, чтобы сумма a₁ + 2a₂ + 3a₃ + ... + 10a₁₀ была наибольшей?

6

Можно ли из последовательности 1, ¹/₂, ¹/₃, ... выбрать (сохраняя порядок) сто чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих?

7

Решить уравнение x⁸ + 4x⁴ + x² + 1 = 0.

8

Внутри многоугольника произвольно выбраны две точки A и B. Докажите, что найдется такая вершина P этого многоугольника, что угол ∠ABP — тупой.

9

В войске герцога Икторна 1000 гоблинов. Любые два гоблина либо дружат, либо враждуют, либо незнакомы. Гоблины — существа малообщительные, разговаривают только с друзьями. К тому же все они в плохом настроении, поскольку у каждого гоблина любые два его друга враждуют, а любые два врага дружат. Докажите, что для того, чтобы все войско узнало о предстоящем наступлении на Данвин, герцог должен сообщить об этом не менее чем 200 гоблинам.

10*

На поверхности куба мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на черный стол (причем в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже дает отпечаток.)