МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 12. Строительство и муравьиные бега

1

Четыре деревни расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. В каком месте следует построить школу, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх деревень была наименьшей?

2

Две деревни расположены a) по разные стороны; b) по одну сторону от прямолинейной дороги. В каком месте дороги надо построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от неё до этих деревень была наименьшей?

3

Две деревни расположены по разные стороны от реки, берега которой — параллельные прямые. В каком месте реки следует построить мост, перпендикулярный берегам, чтобы длина пути из одной деревни в другую была наименьшей?

4

Муравей сидит в одной из внутренних точек острого угла. Он хочет побывать на каждой стороне угла и вернуться в исходную точку. Как ему это сделать, пройдя наименьшее расстояние?

5

Муравей сидит в середине одной из сторон квадрата. Он хочет побывать на каждой из остальных сторон и вернуться в исходную точку. a) Как ему это сделать, пройдя наименьшее расстояние? b) А какой путь нужно проделать муравью, если бы он сидел не в середине стороны квадрата, а в точке, которая делит сторону квадрата в отношении 1 : 2. c) Какой из этих путей короче?

6

Муравей сидит в вершине X деревянного куба. Как ему переползти в противоположную вершину куба Y, двигаясь по самому короткому пути?

7

На столе стоит стакан c круглым дном и вертикальными стенками (дно — внизу). На внешней стенке стакана сидит муравей, а на внутренней стенке находится капля мёда. Как муравью добраться до этой капли, пройдя наименьший путь?

8

В середине ребра правильного тетраэдра сидит муравей, который хочет переползти на середину противоположной грани. Какой путь будет кратчайшим?