МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

а) Число x записывается в виде 0,99999... (после запятой — 100 девяток, а дальше — неизвестные нам цифры). Докажите, что в записи числа x^1/2 после запятой тоже не менее 100 девяток.

б) Что больше: 1 или 0,(9)?
 

За минуту до наступления Нового года к детям пришёл Дед Мороз, у которого в мешке было бесконечно много конфет, занумерованных последовательными натуральными числами. Сразу, как только он пришёл, он выдал детям одну конфету — ту, на которой написан номер 1. За полминуты до Нового года он подумал, что одна конфета — слишком мало для такого праздника, забрал эту конфету обратно и выдал вместо неё две конфеты — с номерами 2 и 3. Когда до Нового года осталась ¹/₃ минуты, он опять передумал, забрал конфету номер 2 и вместо неё дал 4 конфеты — с номерами от 4 до 7. Так продолжалось и дальше. В каждый момент, когда до Нового года оставалось ¹/_n минуты, он забирал одну конфету — конфету номером n, и выдавал вместо неё вдвое больше конфет, чем в предыдущий раз (не пропуская номеров). Сколько конфет окажется у детей, когда пробьют куранты?
 

На доске записано число 1234. Играют двое. За один ход игрок может вычесть из числа любую его ненулевую цифру и записать полученное число вместо старого. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
 

В ряд выставлены вперемешку 40 сапог — 20 правых и 20 левых. Докажите, что можно найти 20 подряд стоящих сапог, среди которых правых и левых поровну.
 

Докажите, что натуральное число имеет нечетное число натуральных делителей тогда и только тогда, когда оно является точным квадратом.
 

По коридору одна за другой расположены 100 дверей. Ко всем дверям подходит один и тот же ключ. Все двери заперты. Замки устроены так, что при повороте ключа на один оборот замок отпирается, а при повороте ещё на один оборот вновь закрывается. Человек прошёл по коридору и повернул ключ на один оборот в замке каждой двери. Потом он прошёл ещё раз и повернул ключ на один оборот в замке каждой второй двери. Затем в каждой четвёртой, каждой пятой, и так далее. В последний раз он повернул ключ только в замке сотой двери. Сколько дверей и какие именно оказались теперь открытыми?
 

Можно ли разбить бесконечный лист клетчатой бумаги на прямоугольники размером 2×1 так, чтобы каждая линия сетки разрезала лишь конечное число прямоугольников?
 

Можно ли указать восемь натуральных чисел, таких, что ни одно из них не делится ни на какое из остальных чисел, но квадрат любого из них делится на каждое из этих чисел?
 

По этой ссылке
Вы можете найти Волшебный шар, угадывающий мысли. В чём секрет его «мудрости»?