МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Имеются две кучки камней. Играют двое, поочередно совершая ходы. За один ход можно взять сколько угодно камней, но из какой-то одной кучки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать хода. Кто победит при правильной игре и как он должен играть, если а) в кучках по 10 камней; б) в одной кучке 10 камней, а в другой — 11, в) в одной кучке m камней, а в другой — n.
 

Решите ту же задачу, если кучек три, а число камней в них равно m, n и k, причём а) m = n, k — любое; б) m = 1, n = 2, k = 3; в) m = 1, n = 2, k — любое.
 

Имеется клетчатая доска а) 10×10; б) 11×11. Играют двое. За один ход можно закрасить несколько подряд стоящих незакрашенных клеток в любой строке или любом столбце. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет и как он должен играть?
 

Двое по очереди ставят на шахматную доску а) ладей; б) слонов так, чтобы они не били друг друга. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто победит и как ему играть?
 

На плоскости нарисован угол и точка внутри него. Постройте отрезок с концами на сторонах угла, для которого данная точка является серединой.
 

Дан острый угол и точка A внутри него. Постройте на сторонах угла точки B и C так, чтобы периметр полученного треугольника ABC был наименьшим.
 

Приведите пример фигуры, которая а) имеет центр симметрии, но не имеет оси симметрии; б) имеет ось симметрии, но не имеет центра симметрии.
 

Может ли фигура на плоскости иметь ровно а) одну; б) две; в) три; г) бесконечно много осей симметрии?
 

Может ли фигура на плоскости иметь ровно а) один; б) два; в) бесконечно много центров симметрии?