МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Имеется клетчатая доска 100×100, каждая клетка которой окрашена в один из 99 цветов. Если в какой-то строке или каком-то столбце имеется две одноцветные клетки, то разрешается перекрасить всю эту строку (столбец) в этот цвет. Всегда ли с помощью таких операций можно сделать доску одноцветной?
 

Можно ли покрыть доминошками шахматную доску, у которой вырезаны две противоположные угловые клетки? (Доминошки не могут перекрываться и вылезать за край доски.)
 

Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии ровно 1 м, окрашенные в а) один цвет; б) разные цвета.
 

Плоскость окрашена в три цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии ровно 1 м, окрашенные в один цвет.
 

Укажите такую раскраску плоскости в несколько (сколько хотите) цветов, что никакие две точки на расстоянии ровно 1 м не являются одноцветными.
 

Прямая окрашена в два цвета. Обязательно ли найдутся две точки на расстоянии ровно 1 м, окрашенные в один цвет?
 

Полоса шириной 0,001 мм окрашена в два цвета. Обязательно ли найдутся две точки на расстоянии ровно 1 м, окрашенные в один цвет?
 

Прямая окрашена в два цвета. Докажите, что найдётся отрезок, у которого и концы, и середина окрашены в один цвет.

Дополнительные задачи

Плоскость окрашена в 2002 цвета. Докажите, что существует прямоугольник, все вершины которого одного цвета.
 

Круг разделен на шесть секторов. В каждом из них — лягушка. Каждую минуту какие-то две лягушки перескакивают из своих секторов в соседние. Смогут ли когда-нибудь эти лягушки собраться в одном секторе?