МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 13. Принцип крайнего

Задача. По окружности расставлено несколько чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все эти числа равны.

Решение. Рассмотрим самое большое из этих чисел, обозначим его буквой С. Поскольку оно равно среднему арифметическому своих соседей, то его соседи тоже равны С (почему?). По той же причине соседи этих соседей равны С, и так далее — все числа равны С.

Мы только что рассмотрели пример задачи на применение так называемого «принципа крайнего». Этот принцип заключается в рассмотрении самого «крайнего» в некотором смысле объекта: самого большого числа, пары наиболее удалённых точек, наименьшего угла, ближайшей точки и тому подобного, что часто оказывается весьма полезным.

Ещё один пример: на столе лежат без наложений несколько одинаковых монет; верно ли, что всегда есть монета, касающаяся не более трёх других? Да, верно. Рассмотрим, например, самую правую монету (если их несколько, то самую верхнюю из самых правых) — она и будет искомой (почему?).

1.	Ответьте на вопросы «почему?» в разобранных выше задачах.
2.	Есть 100 палочек, выложенных по возрастанию длин. За сколько проверок можно наверняка узнать, из любых ли трёх палочек можно составить треугольник?
3.	На тетрадном листе в каждой клеточке написаны числа, и никакое число не превосходит среднего арифметического своих соседей (клетки считаем соседними, если они имеют общую сторону). Докажите, что все числа равны.
4.	На плоскости проведено несколько прямых общего положения (никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку). Они разбивают плоскость на несколько областей. а) Обязательно ли среди этих областей есть треугольник? б) Верно ли, что к каждой из проведённых прямых прилегает треугольник?
5.	В некоторой галактике 2003 планеты. На каждой из них сидит астроном и наблюдает за ближайшей к нему планетой этой галактики. Все расстояния между планетами различны. Докажите, что хотя бы за одной из планет никто не наблюдает.
6.	Путешественник выходит из своего родного города и отправляется в самый дальний от него город страны, затем — в город, самый дальний от этого города, и так далее. Расстояния между всеми городами различны. Докажите, что если путешественник не вернулся в родной город после второго перехода, то он никогда в него не вернётся.
7.	Имеется несколько аэродромов, все расстояния между которыми различны. С каждого аэродрома взлетает самолет и летит на ближайший аэродром. Докажите, что ни на каком аэродроме не приземлятся 6 самолетов.
8.	Можно ли провести на плоскости несколько отрезков так, чтобы конец любого проведённого отрезка лежал внутри другого проведённого отрезка?