МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 3.  Площади

Два многоугольника, имеющие одинаковые площади, называют равновеликими.

1.  

а) Докажите, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
б) Докажите, что три медианы делят треугольник на шесть частей одинаковой площади.
 

2.  

Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0), (3;4), (5;3). Вычислите его площадь.
 

3.  

а) Длина каждой стороны треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 1?
б) Длина каждой стороны треугольника больше 1000. Может ли его площадь быть меньше 1?
в) Длина каждой высоты треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 1000?
 

4.  

а) Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до его боковых сторон не зависит от положения этой точки.
б) Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.
 

5.  

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOB и COD равновелики.
 

6.  

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Докажите, что произведения площадей лежащих напротив друг друга треугольников равны.
 

7.  

Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника. Площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.
 

8.  

Пусть K и L — середины сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Отрезки AK и BL пересекаются в точке P, а отрезки CL и DK — в точке Q. Докажите, что сумма площадей треугольников ABP и CDQ равна площади четырёхугольника KPLQ.

Дополнительная задача

Два многоугольника называют равносоставленными, если один из них можно разрезать на многоугольники и сложить из них другой. Очевидно, что равносоставленные многоугольники равновелики. Оказывается, верно и обратное.

Теорема Бойяи-Гервина. Любые два равновеликих многоугольника равносоcтавлены.

9.  

Докажите эту теорему. Схема доказательства следующая.

  1. Любой многоугольник можно разбить на треугольники.
  2. Любой треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.
  3. Любые два равновеликих параллелограмма с общей стороной равносоставлены.
  4. Любые два равновеликих параллелограмма равносоставлены.
  5. Любой прямоугольник равносоставлен с прямоугольником, длина одной из сторон которого равна 1.
  6. Любой многоугольник равносоставлен с прямоугольником, длина одной из сторон которого равна 1.
  7. Докажите теорему Бойяи-Гервина.
Замечание. Аналогичный вопрос можно поставить и для пространства: верно ли, что всякие два равновеликих (имеющих одинаковые объёмы) многогранника равносоставлены (то есть один из них можно разбить на несколько многогранников и сложить из них другой)? Оказывается, для пространства ответ отрицательный. Немецкий математик Ден доказал в начале XX века, что куб и равновеликий ему тетраэдр не равносоставлены.