МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 4. Неравенство треугольника

Теорема. Для любых трёх точек A, B, C справедливо неравенство AB + BC ≥ AC, причём равенство AB + BC = AC достигается только в случае, если точка B принадлежит отрезку AC. Для треугольника это означает, что сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны.

1.	Длина одной из сторон равнобедренного треугольника равна 4, а длина другой — 9. Найдите длину третьей стороны.
2.	Докажите, что разность длин двух любых сторон треугольника меньше длины его третьей стороны.
3.	Из любых ли 100 палочек можно выбрать три, из которых можно составить треугольник? (Ломать палочки нельзя!)
4.	Две деревни находятся на расстоянии 3 км друг от друга. В одной из них живут 100 школьников, а в другой — 200. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых ежедневно школьниками, была наименьшей?
5.	Тот же вопрос, но деревень три, они расположены в вершинах некоторого треугольника. В первой деревне живут 100 школьников, во второй — 200, в третьей — 300.
6.	Две деревни находятся по разные стороны от прямой дороги. Где на этой дороге нужно построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от неё до деревень была наименьшей?
7.	Тот же вопрос, но деревни находятся по одну сторону от дороги.
8.	По разные стороны от реки с параллельными берегами расположены два кишлака. Мост можно строить только перпендикулярно берегу. Постройте кратчайшую дорогу между деревнями.
9.	Пусть P — периметр некоторого треугольника, M — сумма длин его медиан. Докажите неравенства а) M < P; б) M > ^3P/₄.
10.	Пусть M и N — середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD. При этом оказалось, что MN = (BC + AD)/2. Докажите, что стороны AB и CD параллельны.