МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 16. Cтепень точки относительно окружности

1.	Нарисуйте четырёхугольник, вписанный в окружность. Проведите в нём диагонали и продлите до пересечения две его противоположные стороны. Перечислите все пары подобных треугольников, которые возникли на полученной картинке.
2.	Теорема о степени точки. а) В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Докажите равенство MA · MB = CM · MD. б) В окружности проведены две хорды AB и CD, продолжения которых пересекаются в точке M. Докажите равенство MA · MB = CM · MD. в) К окружности из точки M, лежащей вне неё, провели касательную MK (K — точка касания) и секущую MA, пересекающую окружность в точках A и B. Докажите равенство MA · MB = MK².
3.	Дана окружность радиуса R и точка M, находящаяся от центра окружности на расстоянии d. Используя теорему о степени точки, докажите, что для любой прямой, которая проходит через точку M и пересекает окружность в двух точках A и B, величина MA · MB постоянна (то есть не зависит от выбора прямой). Выразите значение этой величины через R и d, если а) d < R; б) d = R; в) d > R.

Определение. Дана окружность w радиуса R и точка M, находящаяся на расстоянии d от центра этой окружности. Число d² - R² называют степенью точки M относительно окружности w. Как видно из задач 2 и 3, если точка M лежит вне окружности, то её степень — это квадрат длины касательной, проведённой к окружности из этой точки. Заметьте, что для точек, лежащих внутри окружности, степень отрицательна, для точек, лежащих на окружности — равна нулю, вне окружности — положительна.

4.	Что представляет собой геометрическое место точек, степени которых относительно данной окружности равны заданному числу c?

Определение. Даны две неконцентрические окружности. Геометрическое место точек, степени которых относительно этих двух окружностей равны, называют радикальной осью данных двух окружностей.

Докажите, что радикальной осью двух неконцентрических окружностей является прямая, перпендикулярная линии центров этих окружностей.

Указание

Нарисуйте две пересекающиеся окружности. Укажите их радикальную ось.

Две окружности не имеют общих точек. Может ли их радикальная ось пересекать одну из окружностей?

Даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что их три радикальные оси (ось первой и второй окружностей, второй и третьей, первой и третьей), пересекаются в одной точке. Эта точка называется радикальным центром трех окружностей.

Даны две произвольные неконцентрические окружности. С помощью циркуля и линейки постройте их радикальную ось.

10.

Три окружности попарно пересекаются. Докажите, что их общие хорды проходят через одну точку.

11.

Даны три попарно не пересекающиеся окружности. Как с помощью циркуля и линейки найти точку, из которой касательные, проведенные к этим окружностям, равны? Для любых ли трех окружностей есть такая точка?

12.

Окружность пересекает все стороны треугольника и делит точками пересечения каждую сторону на три равные части. Докажите, что такая ситуация возможна только для равностороннего треугольника.

13.

Дан произвольный треугольник ABC (разносторонний). В нём проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁ Пусть P — точка пересечения прямых AB и A₁B₁, Q — точка пересечения прямых BC и B₁C₁, R — прямых AC и A₁C₁. Докажите, что точки P, Q, R лежат на одной прямой.

Указание