МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Докажите, что вписанный в окружность угол, опирающийся на её диаметр,— прямой. И обратно, если угол АСВ прямой, то его вершина С лежит на окружности, построенной на АВ как на диаметре.
 

На плоскости задан отрезок АВ. Укажите те точки плоскости, из которых отрезок АВ виден под а) прямым; б) острым; в) тупым углом.
 

Докажите, что сумма величин углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Верно ли обратное утверждение?
 

Углы B и D четырёхугольника АВСD прямые; РВАС = 37°. Найдите величину угла BDC.
 

Докажите, что круги, построенные на сторонах произвольного четырёхугольниках как на диаметрах, полностью покрывают этот четырёхугольник.
 

Докажите, что величина угла между касательной к окружности и секущей, проходящей через точку касания, равна половине дуги, заключённой внутри этого угла.
 

Две окружности касаются в точке О. Через их общую точку проведены две произвольные прямые A₁А₂ и В₁В₂ (точки с индексом 1 лежат на первой окружности, а точки с индексом 2 — на второй). Докажите, что прямые А₁В₁ и А₂В₂ параллельны.
 

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая l, пересекающая окружности в точках P и Q (точка А - между ними). В точках Р и Q проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что величина угла PDQ не зависит от выбора прямой l.
 

Две окружности касаются внутренним образом в точке М. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности в точке Р. Докажите, что МР — биссектриса угла АМВ.
 

а) Вершины А и В треугольника АВС с прямым углом С скользят по сторонам некоторого фиксированного прямого угла. Какую линию при этом описывает точка С?
б) Котёнок сидит в середине лестницы, приставленной к вертикальной стене. Лестница начинает падать так, что её верх все время упёрт в стену, а ножки скользят по горизонтальному полу. По какой линии будет двигаться котёнок (в предположении, что он спокойно воспринимает происходящее)?