МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Упростите выражение:

(x - a)(x - b)(x - c) ... (x - z).
 

Найдите хотя бы одну тройку натуральных чисел x, y, z, которая удовлетворяет равенству

28x + 30y + 31z = 365.
 

Пять шестерёнок сцеплены в ряд: первая со второй, вторая с третьей, ..., четвёртая с пятой. В первой шестерёнке 48 зубцов, во второй — 20, в третьей — 60, в четвёртой — 39, в пятой — 16. Первая шестерёнка сделала один полный оборот. Сколько оборотов сделала пятая шестерёнка?
 

В языке некоторого племени всего две буквы: У и Ы. При добавлении в любое место слова буквосочетания УУЫЫ, а также при удалении из любого места слова буквосочетания ЫУ смысл слова не меняется. Если же одно слово из другого нельзя получить с помощью этих операций, то слова имеют разный смысл. Одинаковы ли по смыслу слова УЫУ и ЫУЫ?
 

В классе 25 учеников, причём среди любых трёх из них есть двое, которые дружат между собой. Докажите, что в этом классе есть ученик, у которого не менее 12 друзей.
 

Известно, что среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые не являются малярами. Кроме того, люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров. Верно ли, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?
 

На каждой из 1001 планет, все расстояния между которыми разные, сидит астроном и наблюдает за ближайшей к нему планетой. Докажите, что найдётся планета, за которой никто не наблюдает.
 

Существует ли замкнутая а) 5-звенная, б) 10-звенная, в) 8-звенная ломаная, которая каждое своё звено пересекает два раза?
г) Найдите все n, для которых существует замкнутая n-звенная ломаная, пересекающая каждое своё звено ровно два раза.
 

Можно ли найти в ряду натуральных чисел отрезок из 1 000 000 подряд идущих чисел, среди которых нет ни одного простого числа?