МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Петя и Вася играют в такую игру: каждый из них записывает на листке по целому числу, потом открывают свои листки и перемножают числа. Если результат получается чётным, то выигрывает Петя, а если нечётным, то Вася. Может ли один из мальчиков обеспечить себе победу независимо от игры второго?
 

Одиннадцать шестеренок сцеплены одна с другой по кругу: первая со второй, вторая с третьей, третья с четвертой, ..., одиннадцатая — с первой. Сможет ли вращаться такая конструкция?
 

Может ли сумма трёх чисел быть чётной, а произведение тех же трёх чисел — нечётным?
 

Можно ли расставить знаки «+» и «–» между числами 1, 2, 3, ..., 24, 25 так, чтобы значение полученного выражения оказалось равно 46?
 

Можно ли соединить проводами а) 6; б) 7 телефонов так, чтобы каждый был соединён ровно с пятью другими?
 

На доске выписаны числа 1, 2, 3, 4, ..., 1001. За один ход разрешено стереть любые два из них и записать вместо них их разность. Таким образом, после каждого хода чисел на доске будет оставаться на одно меньше, чем было. Через 1000 ходов на доске останется всего одно число. Может ли оказаться, что это число 2?

Дополнительные задачи

Докажите, что в любом классе количество учеников, имеющих нечётное число друзей среди своих одноклассников, чётно.
 

Король собрал во дворце всех мудрецов королевства для того, чтобы устроить для них испытание. Испытание будет проходить так: каждому из мудрецов наденут на голову красный или синий колпак, после чего по очереди будут спрашивать у каждого из мудрецов, какого цвета колпак на его голове. Если ошибутся хотя бы двое, то всех мудрецов обвинят в невежестве и отправят на лесоповал. Мудрецы заранее знают, какое испытание их ждет. Могут ли они между собой договориться так, чтобы успешно пройти испытание? (Любое общение мудрецов во время испытания запрещено (в том числе подмигивание, знаки руками и т.п.) Каждый видит колпаки всех остальных, но не видит своего колпака. Ответы мудрецов на вопрос короля слышат все. Последовательность опроса заранее известна (хотя это и не важно)).