МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В Солнечном городе живут 13 чебурашек. У каждого из них есть три воздушных шарика: красный, синий и желтый. Смогут ли они так поменяться шариками, чтобы у каждого все три шарика оказались одноцветными?
 

Сумму двух натуральных чисел умножили на их произведение и получили 12345. Могло ли такое быть?
 

Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что можно найти две точки на расстоянии ровно 1 м, окрашенные в один и тот же цвет.
 

Играют двое. Они по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые монеты. Класть монеты друг на друга нельзя. Проигрывает тот, кому некуда положить очередную монету. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его соперник? Как он должен играть?
 

Рыцари всегда говорят только правду, а лжецы всегда лгут. За круглым столом сидят 7 человек (каждый из них — либо рыцарь, либо лжец). Каждый из них заявил: а) «Вы все — лжецы!»; б) «Один из моих соседей — рыцарь, а другой — лжец». Сколько за этим столом рыцарей и сколько лжецов?
 

Король хочет построить 6 крепостей и соединить каждую с каждой прямолинейными дорогами так, чтобы получилось только 3 перекрёстка, и на каждом перекрёстке пересекались ровно две дороги. Сможет ли он это сделать?

Дополнительные задачи

Придумайте 1000 чисел (не обязательно различных), сумма которых равна их произведению.
 

Сын отца профессора беседует с отцом сына профессора, а профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?