МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 3

1.	Вера купила в магазине несколько конфет и направилась домой. По дороге она встретила свою лучшую подругу Таню и дала ей половину всех своих конфет и ещё полконфеты. Потом она встретила Толю и дала ему половину оставшихся конфет и ещё полконфеты. После этого она встретила ещё Пашу, Кузьму и Федю. При каждой встрече она отдавала половину всех оставшихся конфет и ещё полконфеты. Когда же Вера дошла до своего подъезда, то обнаружила, что конфет у неё уже не осталось. Сколько конфет она купила в магазине?
2.	В классе 25 школьников. 18 из них на уроках рисуют цветными фломастерами на партах, 10 — делают из бумаги самолётики, а 3 — прилежно занимаются. Сколько учеников этого класса одновременно рисуют и делают самолётики? (Заниматься и при этом рисовать на парте или делать самолётик никто не умеет.)
3.	Каждая клетка доски размером 100×100 покрашена в один из 99 цветов. Если в какой-то строке или каком-то столбце есть две клетки одного цвета, то разрешается перекрасить в этот цвет все остальные клетки этой строки (столбца). Всегда ли можно с помощью таких операций перекрасить всю доску в один цвет?
4.	В трёх кучках лежат конфеты: в первой — m конфет, во второй — n, в третьей — k. Играют двое. Ход состоит в том, что игрок съедает несколько конфет, но только из одной кучки. Побеждает тот, кому достанется последняя конфета. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть, если а) m = n, k — любое натуральное число; б) m = 1, n = 2, k = 3; в) m = 1, n = 2, k > 2.
5.	Как, не имея линейки, отрезать от шнура длиной ²/₃ метра кусок длиной полметра?
6.	Найдите сумму всех двузначных чисел, не делящихся на 7. Дополнительные задачи
7.	Существует ли многоугольник, который невозможно разделить хордой на две части одинаковой площади? (Хордой многоугольника называем отрезок, соединяющий две точки на его границе и лежащий целиком внутри многоугольника.) Ответ Решение Комментарий Ответ. Существует. Решение. Вот пример такого многоугольника: Площади «стеблей» можно сделать сколь угодно малыми, а площади висящих на них «листков» — сколь угодно большими. Чтобы разбить этот многоугольник хордой на две равные по площади части, необходимо, чтобы эта хорда разбивала «почти пополам» один из «листков», но тогда такая хорда не сможет отделить друг от друга другие два «листка». Комментарий. Итак, мы выяснили, что бывают многоугольники, которые нельзя разделить хордой на две части, площадь каждой из которых равна половине площади многоугольника. Но, оказывается, что любой многоугольник можно разделить хордой на две части, площадь каждой из которых равна «почти половине» площади многоугольника. Здесь мы говорим, что площадь части равна «почти половине» площади целого, если площадь части больше, чем ¹/₃, но меньше, чем ²/₃ площади целого.
8.	Из стакана с молоком в стакан с чаем перелили ложку молока. После этого из стакана с чаем перелили обратно в стакан с молоком такую же ложку полученной смеси. Чего теперь больше: молока в стакане с чаем или чая в стакане с молоком? (Количество жидкости в стаканах могло быть разным, перемешивать могли не очень тщательно.) Ответ Указание Решение Ответ. Чая в стакане с молоком столько же, сколько молока в стакане с чаем. Указание. Заметьте, что после переливаний количество жидкости в каждом стакане осталось таким же, каким оно было до переливаний. Решение. Посмотрим на стакан с молоком. В нем жидкости солько же, сколько было изначально, но часть молока заменилась чаем. А куда же делось это молоко? Перешло в стакан с чаем! То есть сколько чая пришло в стакан с молоком, столько и молока этот чай вытеснил в стакан с чаем.