МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 5

1.	Можно ли расставить между числами 1, 2, 3, ..., 10 знаки + и – так, чтобы значение полученного выражения равнялось а) 7; б) 8?
2.	Соедините 9 точек, изображённых на рисунке, четырьмя отрезками, не отрывая карандаша от бумаги.
3.	Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что можно найти две точки на расстоянии ровно 1 м, окрашенные в разные цвета.
4.	У ромашки а) 8; б) 9 лепестков. Играют двое. За один ход можно оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре, начинающий или его соперник? Как он должен играть?
5.	Число девочек, решивших задачу, оказалось равно числу мальчиков, не решивших задачу. Кого больше в этом классе: мальчиков или людей, решивших задачу?
6.	Вера читала книгу. После того, как она прочла 40 страниц, ей осталось прочитать столько, сколько осталось бы прочитать, если бы она прочитала столько, сколько осталось прочитать. Сколько страниц в книге? Дополнительные задачи
7.	Плоскость окрашена в три цвета. Докажите, что можно найти две точки на расстоянии ровно 1 м, окрашенные в один и тот же цвет. Решение Комментарий Решение. Составим из двух равносторонних треугольников со стороной 1 м ромб ABDC. Предположим, от противного, что любые две точки, находящиеся на расстоянии 1 м, окрашены в разные цвета. Тогда, очевидно, точки A и D окрашены в один цвет (в самом деле, если точка А - первого цвета, то точки B и С не могут быть первого цвета и не могут быть одного цвета, то есть B и C - второго и третьего цвета, а тогда D не может быть ни второго, ни третьего цвета, то есть D - первого). Повернём теперь этот ромб вокруг точки А так, чтобы точка D сдвинулась от своего прежнего положения ровно на 1 метр - в точку D'. Точка D' тоже одного цвета с точкой А. Стало быть, DD' = 1 и точки D, D' одноцветны. Противоречие. Задача. Придумайте раскраску плоскости в несколько (сколько хотите) цветов так, чтобы любые две точки на расстоянии ровно 1 метр были разноцветны. Комментарий. Та же задача для двух цветов была на прошлом занятии. Сейчас мы обсудили эту задачу для трех цветов. Естественно было бы задать тот же вопрос для четырёх, пяти, ... цветов. Будет ли ответ для любого n такой же, как мы получили для двух и трёх цветов? Оказывается, что для семи цветов ответ уже отрицательный, т.е. можно так покрасить плоскость в 7 цветов, что никакие две точки на расстоянии ровно 1 м не будут одноцветными. Очевидно, такой же ответ и для большего числа цветов (годится та же раскраска (восьмой, девятый, ... цвета можно не использовать (или, если очень хочется - покрасить каждым из них по одной точке))). Что же касается нашей задачи для четырёх, пяти и шести цветов, то ответ ни в одном из этих трёх случаев неизвестен. Это знаменитая проблема, которая остаётся открытой уже на протяжении многих десятилетий. Для четырёх цветов имеет место следующий факт: какова бы ни была раскраска плоскости в четыре цвета и сколь бы малое мы ни взяли положительное число e, найдутся две точки на расстоянии, отличающемся от 1 менее, чем на e, окрашенные в один цвет.
8.	В десяти мешках лежат монеты, причём в одном из мешков все монеты фальшивые, а в остальных все монеты настоящие. Настоящая монета весит 10 г, а фальшивая — 9 г. Как с помощью одного взвешивания на весах со стрелкой выявить мешок с фальшивыми монетами?