МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Занятие 1
| 1. | Среди девяти одинаковых по виду монет есть одна фальшивая, которая весит меньше настоящих. Все настоящие монеты весят одинаково. Как найти фальшивую монету с помощью двух взвешиваний на чашечных весах? Указание.
Разделите эти 9 монет на три кучки по три монеты и вспомните задачу 1 занятия 0.
Решение.
Первым взвешиванием сравним массы первой и второй кучек.
Если одна из них легче, то в ней находится фальшивая монета.
Если же массы кучек одинаковы, то фальшивая монета в третьей кучке.
Таким образом, мы получили кучку из трёх монет, одна из которых фальшивая, и у нас есть ещё одно взвешивание, т.е. мы попали в условие задачи 1 прошлого занятия.
Задача решена.
| ||||||||||||||||||||
| 2. | Два землекопа за два часа выкопали две ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за шесть часов? Ответ.
18 ям.
Решение.
Поскольку 6 втрое больше,
| ||||||||||||||||||||
| 3. |
Отмерьте 8 литров воды, находясь у реки и имея два ведра: одно вместимостью Решение.
| ||||||||||||||||||||
| 4. | В двух кучках лежат конфеты, по 8 конфет в каждой. Играют двое. Ход состоит в том, что игрок съедает несколько конфет, но только из какой-либо одной кучки. Побеждает тот, кому достанется последняя конфета. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть? Решение.
Побеждает второй. Для этого ему нужно брать столько же конфет, сколько взял первый, но из другой кучки (так называемая симметричная стратегия). Таким образом, после каждого хода второго будут получаться две одинаковые кучки. Первый будет всякий раз нарушать симметрию, а
| ||||||||||||||||||||
| 5. | «У Вовы больше тысячи книг!», — заявила Маша. «Нет, книг у него меньше тысячи»,— возразила Даша. «Я думаю, что у Вовы ровно тысяча книг»,— предположила Глаша. «Ну уж хоть одна-то книга у него наверняка есть»,— сказала Наташа. Сколько книг у Вовы, если среди этих четырёх высказываний только одно оказалось истинным? Ответ.
Ни одной.
Решение.
Если бы высказывание Наташи оказалось истинным, то непременно было бы истинным и одно из остальных высказываний (в самом деле, любое натуральное число либо больше, либо равно, либо меньше тысячи). А по условию истинно лишь одно высказывание. Значит, у Вовы нет ни одной книги (и права была Даша).
| ||||||||||||||||||||
| 6. | Можно ли в тетрадном листочке прорезать дырку так, чтобы через нее мог пройти Ваш преподаватель? |
Дополнительные задачи
| 7. | В комнате у Серёжи стоит свеча так, что ни одна из стен не освещена полностью. Может ли так быть? (Комната не прямоугольная, она может иметь форму любого многоугольника.) Ответ.
Может.
Решение.
Вот пример такой комнаты:
|
| 8. | На столе лежат монеты. 15 из них — орлом вверх, остальные — орлом вниз. Требуется с завязанными глазами разложить эти монеты на две кучи так, чтобы в этих кучах число монет, лежащих орлом вверх, было одинаково. Количество монет в кучах может быть разным (куча может состоять из любого количества монет, в том числе из одной или еще меньше), монеты можно переворачивать, но определить наощупь, как лежит монета, невозможно. Указание.
Решите сначала ту же задачу для случая, когда монет, лежащих орлом вверх, не 15, а одна. А если две? Три?
Решение.
Возьмем любые 15 монет и создадим из них вторую кучу (все остальные монеты – первая куча). Всего было 15 монет орлом вверх. Сколько из них осталось в первой куче? Пусть n. Тогда
во второй куче будет
|
