МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 2

1.  

Лифт поднимается на 7 этаж за 42 секунды. За сколько времени тот же лифт поднимется на 11 этаж?

Ответ Решение

Ответ. За 70 секунд.
Решение. Чтобы оказаться на 7 этаже, лифт должен подняться на 6 этажей. Значит, для подъёма на один этаж он затрачивает 42 : 6 = 7 секунд. На 11-й этаж лифт поднимется за 10 · 7 = 70 секунд.
2.  

Среди 101 одинаковой по виду монеты есть одна фальшивая, которая отличается по весу от настоящих. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах определить, весит ли фальшивая монета меньше, чем настоящая, или больше, чем настоящая? (Находить фальшивую монету не требуется.)

Решение

Решение. на более тяжёлой чаше не было — значит, фальшивая монета легче настоящей. Если же одна из чаш перевесила, то среди взвешенных монет есть фальшивая — фальшивая монета тяжелее настоящей.
3.  

Вера купила на рынке несколько арбузов. 20 мальчиков вызвались помочь ей донести эти арбузы. Первому мальчику Вера дала 1 арбуз, второму — 2, третьему — 3, ..., двадцатому — 20. А сама Вера по пути домой несла только зонтик и пыталась сосчитать, сколько арбузов она купила. Помогите ей в этом подсчете.

Ответ Решение

Решение. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 17 + 18 + 19 + 20 = (1+20) + (2+19) + (3+18) + (4+17)+ ... + (9+12) + (10+11) = 21 · 10 = 210.
4.  

В двух кучках лежат конфеты: в первой — 10 конфет, во второй — 13. Играют двое. Ход состоит в том, что игрок съедает несколько конфет, но только из одной кучки. Побеждает тот, кому достанется последняя конфета. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

Решение

Решение. Побеждает первый, взяв три конфеты из второй кучи. Таким ходом он сводит игру к той, что была описана в задаче 4 прошлого занятия — в этой игре он будет вторым и победит, руководствуясь симметричной стратегией.
5.  

В трёх коробках лежат шары: в одной — два белых, в другой — два чёрных, в третьей — белый и чёрный. На коробках наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое ни одной из коробок не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, в какой коробке что лежит?

Указание Решение

Указание. Достаньте шар из ящика, на котором написано БЧ.
Решение. Так как ни одна из этикеток не соответствует содержимому, то в ящике с этикеткой БЧ либо два белых шара, либо два чёрных. Достанем из этого ящика шар. Если он чёрный, то в этом ящике лежат два чёрных шара. А что лежит там, где написано ББ? Ясно, что не два белых (иначе этикетка была бы правдивой) и не два чёрных (так как они в БЧ). Значит, белый и черный. А в оставшемся ящике ЧЧ — два белых. В случае, если вынутый шар белый, рассуждения аналогичны.
6.  

После семи стирок и длина, и ширина, и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска? (На каждую стирку расходуется одно и то же количество мыла.)

Ответ Решение

Ответ. На одну.
Решение. Уменьшение одного из измерений куска в два раза влечет за собой уменьшение вдвое объёма куска. Таким образом, за семь стирок объём трижды уменьшился вдвое, то есть уменьшился в восемь раз. Значит, если объём оставшегося куска обозначить через x, то изначальный объём был 8x. Итак, на 7 стирок ушло 7x, а на одну стирку требуется x.

Дополнительные задачи

7.  

Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком?

Ответ Указание Решение

Ответ. Можно.
Указание. Вспомните задачу 7 предыдущего занятия. Попытайтесь «исправить» комнату так, чтобы свеча оказалась снаружи.
Решение. Вот пример такого многоугольника:

8.  

Вера разрезала один из купленных ею арбузов на 4 части и съела. Получилось 5 корок. Могло ли такое быть? А могли ли получиться 6 корок?

Ответ Решение

Ответ. Могло получиться любое количество корок, большее 3.
Решение. Чтобы получить 5 корок, вырежем из арбуза цилиндр, а оставшееся «кольцо» разрежем ещё на три дольки. Каждая из долек даст одну корку, а цилиндр — две.