МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 0. Письменная работа

1.	Имеются три монеты, среди которых есть одна фальшивая, весящая меньше настоящих. Как с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету? Решение Решение. Положим на чаши весов по одной монете. Если одна из них окажется легче, то она и есть фальшивая. Если же эти монеты одного веса, то фальшивая — третья монета.
2.	а) Можно ли разрезать шахматную доску с вырезанной угловой клеткой на «доминошки»? б) А если вырезаны две противоположные угловые клетки? Ответ Указание Решение Ответ. а) Нельзя. б) Нельзя. Указание. б) Противоположные угловые клетки шахматной доски одноцветны. Решение. а) Нельзя, поскольку доска с вырезанной клеткой состоит из нечётного количества клеток, а каждая доминошка покрывает две клетки. б) Хотя клеток теперь чётное число, всё равно нельзя. Поскольку соседние по стороне клетки доски разноцветны, то каждая доминошка покрывает одну чёрную и одну белую клетку. В неиспорченной шахматной доске белых и чёрных клеток поровну. А так как противоположные угловые клетки одного цвета, то после их отрезания клеток одного цвета станет больше, чем клеток другого.
3.	В первый день на озере расцвела одна лилия. Каждый следующий день количество цветков на озере удваивалось, и через 20 дней все озеро покрылось цветами. Через сколько дней все озеро покрылось бы цветами, если бы в первый день на озере расцвели две лилии? Ответ Указание Решение Ответ. За 19 дней. Указание. В первый день появилась одна лилия. Сколько лилий будет во второй день? Решение. Если бы в первый день появились две лилии, то получился бы тот же самый процесс, что и в первом случае (когда одна лилия в первый день), но начиная со второго дня. Таким образом, всё озеро покроется цветами за 19 дней.
4.	После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили: Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич». Добрыня Никитич: «Змея убил Алеша Попович». Алеша Попович: «Змея убил я». Кто убил Змея, если известно, что только один из них сказал правду? Ответ Указание Решение Ответ. Добрыня Никитич Указание. Среди высказываний есть два одинаковых. Решение. Поскольку Добрыня Никитич и Алеша Попович сделали одинаковые утверждения, а по условию истинное утверждение только одно, то прав был Илья Муромец.
5.	Автобус шёл из города А в город B. Чтобы прибыть в город B по расписанию, автобус должен был ехать все время с одной и той же скоростью. Случилось так, что первую половину пути он шёл со скоростью, вдвое меньшей запланированной. Удастся ли ему наверстать упущенное время, чтобы прибыть в город B вовремя? Если да, то во сколько раз ему нужно увеличить скорость? Ответ Решение Ответ. Нет. Решение. Если ехать вдвое медленнее, то на тот же путь уйдёт вдвое больше времени. Таким образом, на половину пути автобус потратил время, которое ему отводилось на весь путь, и как бы он ни увеличил теперь скорость, опоздание неизбежно.