МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Докажите, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна.
 

В магазине продают 5 видов чашек, 4 вида блюдец и 2 вида ложек. Сколькими способами можно купить а) набор из чашки, блюдца и ложки; б) два предмета с разными названиями?
 

В одной из двух деревень, находящихся на расстоянии 3 км друг от друга, живут 100 школьников, а в другой — 200 школьников. Где нужно построить школу, чтобы суммарный путь, проходимый из дома в школу всеми школьниками, был наименьшим?
 

На доске 8х8 стоит ладья. Она может ходить на любое число клеток вправо и на любое число клеток вверх. Играют двое, по очереди совершая ход ладьей. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Для каждой клетки доски определите, кто выиграет при правильной игре, если в начале игры ладья стоит на данной клетке. Отметьте знаком «+» клетки, выигрышные для первого игрока, а знаком «–» — проигрышные.
 

За один ход разрешено поменять все знаки некоторой строки или все знаки некоторого столбца таблицы на противоположные. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы вся таблица состояла только из плюсов?

а) Разрежьте квадрат на 6 квадратов. б) Верно ли, что квадрат можно разрезать на любое чётное число квадратов, большее двух?

Дополнительные задачи

Какое наименьшее количество распилов необходимо сделать, чтобы разрезать куб 3×3×3 на 27 единичных кубиков? (После каждого распила части можно перекладывать и пилить сразу несколько частей.)
 

Есть три одинаковых кирпича и линейка. Можно ли измерить диагональ кирпича, не ломая его?