МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В двух кошельках лежат две монеты. При этом в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Может ли так быть?
 

Из любых ли трёх отрезков можно составить треугольник?
 

Сколько диагоналей имеет 20-угольник?
 

На чудо-дереве растут апельсины и бананы, причём бананы составляют 99% всех фруктов. После того, как Петя съел несколько бананов с этого дерева, бананы стали составлять 98% оставшихся фруктов. Какую часть всех фруктов съел Петя?
 

Имеется полоска бумаги из 10 клеток. На самой левой клетке стоит фишка. Играют двое. Они по очереди передвигают фишку вправо на одну, две или три клетки. Побеждает тот, кто поставит фишку на самую правую клетку. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
 

На столе стоят 10 стаканов, из которых 7 перевёрнуты вверх дном. За один ход разрешается перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?
 

Существует ли замкнутая а) семизвенная; б) шестизвенная ломаная, которая каждое своё звено пересекает ровно один раз?

Дополнительные задачи

Верно ли, что из любых ста отрезков можно выбрать три, из которых можно составить треугольник?
 

В стакан, в котором находились 1000 бактерий, поместили один вирус. Каждую минуту каждый из имеющихся в стакане вирусов съедает одну бактерию, после чего каждая из оставшихся бактерий делится на две бактерии, а каждый вирус — на два вируса. Наступит ли момент, когда в стакане не останется ни одной бактерии?